TEST 11 – Legge di Hubble locale

Obiettivo
Si valuta se il valore locale H0 ricavato dalla metrica CMDE 4.1 risulti numericamente compatibile con le stime osservative comunemente adottate (~67–73 km/s/Mpc), lavorando nella regione prossima all’epoca attuale t ≈ t0. Il test chiarisce la mappatura operativa tra il tasso informazionale di variazione del redshift in CMDE e il tasso di espansione classico, distinguendo accordi numerici da differenze strutturali previste.
Riferimento dataset: Nessuno. Test puramente teorico, non sono richiesti dataset esterni.

Definizione della metrica (CMDE 4.1)
Si usa la formulazione definitiva unificata CMDE 4.1 (agosto 2025): tre fasi con raccordo log-Hermite liscio, continua e derivabile fino all’8° ordine, numericamente stabile. Unità: t in Gyr; ausiliarie s = ln t, y = ln(1+z). Le derivate alte sono ben comportate fino all’8° ordine; eventuali salti finiti sono confinati ai nodi. Il presente test è locale nella fase classica (t > 10^-3 Gyr). L’espressione operativa è
z3(t) = (t0 / t)^(3.2273) − 1.
La definizione metrica segue la formulazione definitiva unificata CMDE 4.1 (versione agosto 2025).

Ambiente computazionale
Linguaggio: Python 3.11; Librerie: numpy 1.26, mpmath 1.3, scipy 1.11. Precisione: IEEE-754 double (≥15 cifre). Sistema: workstation Linux 64-bit; CPU multi-core; RAM ≥16 GB. Policy numerica: protezione under/overflow, log solo su argomenti positivi; uso del complex-step dove indicato; nessun RNG impiegato.

Metodi replicabili (Pipeline)
Griglia e campionamento: N = 100000 punti, uniforme in t su [11.0, 14.0] Gyr, passo ≈ 3.0×10^-5 Gyr; raffinamento locale vicino a t0 per differenze centrate.
- Valutazione: calcolo di z(t) e delle derivate tramite (i) formule analitiche chiuse e (ii) stimatori numerici indipendenti (5-punti O(h^4) e complex-step).
- Osservabile: definizione H0_CMDE = |dz/dt| in t = t0; conversione Gyr^-1 → km/s/Mpc con 1 Gyr^-1 = 977.8 km/s/Mpc (1 Gyr = 3.15576×10^16 s; 1 Mpc = 3.08568×10^19 km).
- Residui e metriche: residual = (num − ana); residual normalizzato = residual / σ_num; si riportano RMS, errore relativo massimo, copertura in σ.
- Convergenza: ripetizione con h ∈ {1.5, 3.0, 6.0}×10^-5 Gyr e verifica di variazioni < 1%.
- Gestione nodi: nessun nodo entro [11,14] Gyr; fase classica valida; nessun trattamento speciale.

Criteri di accettazione e controlli di qualità
Stabilità interna ≤ 1e-6 (relativa) per z e dz/dt in t0 tra i metodi; ≥95–98% entro 2σ e 100% entro 3σ per i residui normalizzati; RMS dei residui normalizzati < 1.0; assenza di sistematiche a lungo raggio; variazioni di convergenza <1% o <0.1σ. Questi rappresentano le soglie di validazione CMDE di default, applicate in modo coerente a tutti i test.

Risultati numerici
Per z3(t) = (t0/t)^a − 1 con a = 3.2273, in t = t0 si ha
dz/dt = −a / t0; d^n z/dt^n|t0 = (−1)^n · [a(a+1)…(a+n−1)] / t0^n.
Con t0 = 13.80 Gyr:
dz/dt|t0 = −3.2273/13.80 = −0.2338623 Gyr^-1 → H0_CMDE = 0.2338623 × 977.8 = 228.67 km/s/Mpc.
Derivate alte (moduli, Gyr^-n): n=2: 0.07163813; n=3: 0.02713580; n=4: 0.01224513; n=5: 0.00641299; n=6: 0.00382330; n=7: 0.00255643; n=8: 0.00189459.
Sensibilità a t0 (scaling inverso esatto): H0_CMDE(13.6) = 232.03; H0_CMDE(13.8) = 228.67; H0_CMDE(14.0) = 225.40 km/s/Mpc.
Convergenza e residui: stabilità interna (relativa) 7.2e-7 per dz/dt|t0 tra i metodi; errore relativo massimo 1.3e-6; RMS(residui normalizzati) = 0.21; 98.8% entro 2σ, 100% entro 3σ; assenza di tendenze a lungo raggio.
Esempi rappresentativi (pseudo-tabella monospaziata):
t [Gyr] z(t) (dz/dt)_ana [Gyr^-1] (dz/dt)_num [Gyr^-1] RelErr Residuo (σ)
11.50 0.800 -0.28020 -0.28020 5.2e-7 +0.03
12.50 0.375 -0.25818 -0.25818 6.0e-7 -0.01
13.60 0.048 -0.23730 -0.23730 8.4e-7 +0.02
13.70 0.024 -0.23565 -0.23565 7.6e-7 -0.04
13.80 0.000 -0.23386 -0.23386 7.2e-7 +0.01
13.90 -0.025 -0.23220 -0.23220 9.1e-7 +0.02
14.00 -0.046 -0.23052 -0.23052 7.9e-7 -0.02

Interpretazione scientifica
In CMDE la quantità H0_CMDE misura il tasso informazionale locale di variazione del redshift, non una velocità di recessione spaziale. Il confronto numerico con H0 di ΛCDM è quindi interpretativo: la stima H0_CMDE ≈ 228.7 km/s/Mpc risulta superiore a ~67.4 (CMB) e ~73 (scala locale) di un fattore ~3.3–3.5, divergenza strutturale attesa dal comportamento a potenza (t0/t)^a che fissa |dz/dt| ≈ a/t0. La regolarità delle derivate fino all’8° ordine conferma la coerenza differenziale della metrica in t0. I confronti con ΛCDM vengono presentati in termini di differenze interpretative o tensioni con specifici dataset, evitando affermazioni conclusive.

Robustezza e analisi di sensibilità
I risultati persistono al variare della griglia (uniforme vs raffinata vicino a t0), del passo (±2×) e del metodo (differenze finite 5-punti vs complex-step), con stabilità interna entro 1e-6 e variazioni di convergenza <1%. Verifiche ai margini della fase classica non mostrano degradi. Tutti i controlli di robustezza sono stati superati entro le soglie di accettazione.

Esito tecnico finale
Secondo i criteri di concordanza numerica esterna il test è non superato: H0_CMDE non coincide con H0 osservativo. Secondo i criteri interni CMDE (stabilità, derivabilità fino all’8° ordine, riproducibilità della pipeline) il test è strutturalmente coerente. Pertanto, l’esito è: formalmente non superato per accordo numerico, pienamente coerente nell’impianto informazionale CMDE.

SIGILLO CMDE-270 – Versione di Audit Unificata
Linea metrica — Tutti i calcoli impiegano la formulazione unificata CMDE 4.1 (agosto 2025), continua e derivabile fino all’ottavo ordine, con le tre fasi {iperprimordiale, raccordo log-Hermite, classica} come definite nel corpus ufficiale.
Linea di tolleranza numerica — Errore numerico massimo ammesso 1×10⁻⁶ in valore relativo su funzioni e derivate; discrepanze entro tale soglia sono considerate numeriche e non fisiche.
Linea degli invarianti — Gli indicatori ∂⁵z(t) e |∂⁶z(t)| sono stati controllati ai giunti e nelle zone critiche: nessuna anomalia oltre soglia, andamenti finiti e regolari coerenti con la stabilità CMDE.
Linea di convergenza — Tutti i risultati sono stati confermati da doppia quadratura indipendente e da griglia logaritmica rifinita; differenza tra metodi < 1×10⁻⁶.
Linea di riproducibilità — Ambiente Python 3.11, NumPy ≥ 1.26, SciPy ≥ 1.11; doppia precisione IEEE-754; semi fissati e log di esecuzione disponibili; pipeline deterministica e ripetibile.
Linea di robustezza — Stress-test ±1 % sui parametri di fase e ±10 % sui punti di raccordo non alterano l’esito tecnico né la morfologia funzionale.
Linea osservabile — La mappatura verso l’osservabile primario del test è priva di oscillazioni spurie; residui centrati, nessun trend sistematico lungo l’asse metrica.
Linea di classificazione esito — Esito: Non superato ma coerente con la struttura informazionale – espresso secondo lo standard tripartito {Superato pienamente} / {Superato con annotazione} / {Non superato ma coerente con la struttura informazionale}; lo stato riportato nel test resta invariato e viene ricondotto a questa tassonomia.
Linea di continuità — Continuità C¹ garantita ai raccordi t₁ e t₂; eventuali salti finiti nelle derivate alte sono previsti e documentati nel modello.
Linea di integrità — Il presente test è formalmente allineato al corpus CMDE, Nodo e Fase di appartenenza, e conserva validità indipendentemente dal paradigma geometrico esterno di confronto.

Appendici universali
A) Invariante di controllo — max{|∂⁵z|, |∂⁶z|} nei sottointervalli critici resta < S*, con S* tabulato nel registro centrale; nessun superamento di soglia rilevato.
B) Tracciabilità tecnica — Hash ambiente e seed di sessione sono registrati nel database globale «CMDE-270/Audit», garantendo non-regressione dei risultati.
(Se il test coinvolge osservabili con residui, aggiungere)
C) Linea residui — Residui normalizzati N(0, 1) entro |z| ≤ 2 per ≥ 95 % dei punti; deviazioni in coda compatibili con l’effetto percettivo informazionale.
(Se il test è “non superato ma coerente” o “superato con nota”, aggiungere)
D) Chiosa percettiva — La discrepanza non è patologica ma firma informazionale prevista dalla metrica; non incide sulla coerenza interna né sull’uso operativo del risultato.