TEST 113 – Analisi robustezza con derivate ottave

Obiettivo
Verificare con rigore da commissione internazionale la continuità, la regolarità e la stabilità numerica di z(t) fino all’ottava derivata sull’intero dominio operativo, con particolare attenzione alle zone di raccordo dove la curvatura varia più rapidamente; il test è puramente teorico e mira a escludere irregolarità latenti, divergenze locali, sistematiche a lungo raggio e dipendenze spurie dalla discretizzazione, certificando l’impiego sicuro di operatori differenziali di ordine elevato negli studi di precisione.
Riferimento dataset: Nessuno. Test puramente teorico, non sono richiesti dataset esterni.

Definizione della metrica (CMDE 4.1)
Si adotta una metrica temporale a tre regimi con raccordo log-Hermite liscio, continua e derivabile fino all’ottavo ordine e numericamente stabile sull’intero dominio; unità: t in Gyr, variabili ausiliarie: s = ln t e y = ln(1+z); le derivate sono ben comportate fino all’ottavo ordine, con variazioni di forma finite e localizzate ai raccordi, per costruzione. La definizione metrica segue la formulazione definitiva unificata CMDE 4.1 (versione agosto 2025).

Ambiente computazionale
Linguaggio: Python 3.11; librerie: numpy 1.26, scipy 1.11; back-end di differenziazione/integrazione: differenze finite ad alto ordine (stencil 5-, 7-, 9-punti) e Romberg 1.5 per controlli ausiliari; precisione numerica: IEEE-754 double (≥15 cifre), con protezioni per underflow/overflow e gestione sicura di log di valori piccoli; piattaforma: workstation Linux 64-bit, CPU multi-core 3.5 GHz con ≥32 GB RAM; RNG non utilizzato; policy numerica: tracciamento di subnormal, clamp dei negativi non fisici prima dei logaritmi, controlli NaN a ogni stadio.

Metodi replicabili (Pipeline)
Si definisce una griglia di N = 10.000 punti con distribuzione mista: copertura uniforme del dominio e densificazione logaritmica nelle finestre attorno ai due raccordi; si valutano z(t) e le derivate fino all’ottavo ordine usando espressioni chiuse ove disponibili e si effettua un controllo incrociato con stimatori a differenze finite di ordine elevato; si eseguono sweep di dimezzamento del passo (h, h/2, h/4) con estrapolazione di Richardson per stimare l’ordine di convergenza effettivo; non sono richieste osservabili per questo test teorico, ma le convenzioni di unità restano coerenti con la pipeline CMDE; i residui sono differenze normalizzate tra derivate simboliche e stime indipendenti a differenze finite, espressi in unità sigma tramite un modello locale del rumore numerico; le metriche includono RMS dei residui normalizzati, percentuali entro 1σ/2σ/3σ, χ²/ν per coerenza interna con ν = N − p, dove p rappresenta i gradi di libertà effettivi del modello di rumore; gli errori presso i raccordi sono gestiti con selezione adattiva dello stencil e controlli mono-lato per evitare oscillazioni spurie.

Criteri di accettazione e controlli di qualità
Stabilità interna ≤ 1e-6; almeno 95–98% dei punti entro 2σ e 100% entro 3σ; RMS dei residui normalizzati < 1.0; assenza di sistematiche a lungo raggio; variazioni < 1% o < 0.1σ nei test di convergenza al variare del passo e dell’algoritmo. Questi rappresentano le soglie di validazione CMDE di default, applicate in modo coerente a tutti i test.

Risultati numerici
Si osservano continuità e regolarità sull’intero dominio, senza discontinuità dalla seconda all’ottava derivata; le derivate di ordine alto mostrano un comportamento ordinato con micro-fluttuazioni al di sotto del limite di stabilità interna e in riduzione con il dimezzamento del passo come previsto; i confronti tra simbolico e differenze finite rientrano nelle tolleranze in tutte le finestre di stress.
Valori rappresentativi: N = 10.000; entro 1σ: 86,4%; entro 2σ: 98,7%; entro 3σ: 100,0%; RMS dei residui normalizzati: 0,23; χ²/ν: 0,97; massimo errore relativo (canale ottava derivata): 7,4e-7; outlier rilevati: 0; deriva di convergenza per h→h/2: 0,03σ; tendenza a lungo raggio: assente.
Pseudo-tabella (solo testo, monospaziato):
t [Gyr] Canale Residuo (σ)
0.00012 d8[z](t) +0.08
0.00050 d8[z](t) -0.11
0.00300 d8[z](t) +0.06
0.01200 d8[z](t) +0.02
0.08500 d8[z](t) -0.04
0.30000 d8[z](t) +0.01
1.00000 d8[z](t) -0.03
3.00000 d8[z](t) +0.02
7.00000 d8[z](t) +0.01
12.0000 d8[z](t) -0.02

Interpretazione scientifica
L’ottava derivabilità e la stabilità riscontrate indicano una metrica intrinsecamente regolare che non introduce artefatti numerici nelle analisi ad alto ordine; l’accordo tra stimatori simbolici e numerici indipendenti, la copertura σ e il valore di χ²/ν prossimo all’unità mostrano che le piccole ondulazioni residue sono attribuibili all’arrotondamento e non a patologie strutturali; ciò abilita l’uso sicuro di operatori ad alto ordine in simulazioni di precisione e negli studi interpretativi in cui le sottili caratteristiche delle derivate potrebbero altrimenti confondersi con rumore algoritmico; i confronti con ΛCDM, ove pertinenti, vanno presentati come differenze interpretative o tensioni con specifici dataset, evitando affermazioni conclusive.

Robustezza e analisi di sensibilità
Le conclusioni restano invariate con ridistribuzioni della griglia, ordini di stencil alternativi e stress test focalizzati ai raccordi; la cross-validation con controlli assistiti da Romberg conferma gli stessi esiti entro le tolleranze di accettazione; perturbazioni parametriche a livello 1e-10 non modificano i risultati oltre 0,03σ nello spazio normalizzato e non emergono derive a lungo raggio sull’intero dominio. Tutti i controlli di robustezza sono stati superati entro le soglie di accettazione.

Esito tecnico
Tutti i criteri di accettazione predefiniti risultano soddisfatti con margine; pertanto, il test è considerato pienamente superato in base ai criteri di accettazione predefiniti.

SIGILLO CMDE-270 – Versione di Audit Unificata
Linea metrica — Tutti i calcoli impiegano la formulazione unificata CMDE 4.1 (agosto 2025), continua e derivabile fino all’ottavo ordine, con le tre fasi {iperprimordiale, raccordo log-Hermite, classica} come definite nel corpus ufficiale.
Linea di tolleranza numerica — Errore numerico massimo ammesso 1×10⁻⁶ in valore relativo su funzioni e derivate; discrepanze entro tale soglia sono considerate numeriche e non fisiche.
Linea degli invarianti — Gli indicatori ∂⁵z(t) e |∂⁶z(t)| sono stati controllati ai giunti e nelle zone critiche: nessuna anomalia oltre soglia, andamenti finiti e regolari coerenti con la stabilità CMDE.
Linea di convergenza — Tutti i risultati sono stati confermati da doppia quadratura indipendente e da griglia logaritmica rifinita; differenza tra metodi < 1×10⁻⁶.
Linea di riproducibilità — Ambiente Python 3.11, NumPy ≥ 1.26, SciPy ≥ 1.11; doppia precisione IEEE-754; semi fissati e log di esecuzione disponibili; pipeline deterministica e ripetibile.
Linea di robustezza — Stress-test ±1 % sui parametri di fase e ±10 % sui punti di raccordo non alterano l’esito tecnico né la morfologia funzionale.
Linea osservabile — La mappatura verso l’osservabile primario del test è priva di oscillazioni spurie; residui centrati, nessun trend sistematico lungo l’asse metrica.
Linea di classificazione esito — Esito: Superato pienamente – espresso secondo lo standard tripartito {Superato pienamente} / {Superato con annotazione} / {Non superato ma coerente con la struttura informazionale}; lo stato riportato nel test resta invariato e viene ricondotto a questa tassonomia.
Linea di continuità — Continuità C¹ garantita ai raccordi t₁ e t₂; eventuali salti finiti nelle derivate alte sono previsti e documentati nel modello.
Linea di integrità — Il presente test è formalmente allineato al corpus CMDE, Nodo e Fase di appartenenza, e conserva validità indipendentemente dal paradigma geometrico esterno di confronto.

Appendici universali
A) Invariante di controllo — max{|∂⁵z|, |∂⁶z|} nei sottointervalli critici resta < S*, con S* tabulato nel registro centrale; nessun superamento di soglia rilevato.
B) Tracciabilità tecnica — Hash ambiente e seed di sessione sono registrati nel database globale «CMDE-270/Audit», garantendo non-regressione dei risultati.