TEST 15 – Coerenza metrica tra fasi

Obiettivo
Si verifica se le tre fasi della CMDE 4.1 — iperprimordiale, raccordo esponenziale dolce, classica razionale — si concatenano in modo armonico lungo il tempo cosmico, garantendo continuità di z(t) e della sua derivata prima nei nodi di transizione e assenza di dinamiche spurie nelle derivate superiori entro il perimetro del test; dominio: t in Gyr con focus su [0.5·t1, 2·t2], con t1=1.0e−5 Gyr e t2=1.0e−3 Gyr, e controllo in fase classica per t>t2; importanza: la coerenza interna tra fasi è prerequisito per ogni osservabile derivato e per la validazione globale CMDE; Riferimento dataset: Nessuno. Test puramente teorico, non sono richiesti dataset esterni.

Definizione della metrica (CMDE 4.1)
Formulazione definitiva a tre fasi (agosto 2025), raccordo log-Hermite liscio, continua e numericamente stabile, derivate ben comportate fino all’8° ordine all’interno di ciascun ramo; unità: t in Gyr, variabili ausiliarie s=ln t e y=ln(1+z); fasi: z1(t)=t^9.31/(1.515e−40)−1 per t<t1; z2(t)=exp(y2(ln t))−1 per t1≤t≤t2; z3(t)=(t0/t)^3.2273−1 per t>t2; raccordo: y2(s)=(2u^3−3u^2+1)·Y1+(u^3−2u^2+u)·(s2−s1)·M1+(−2u^3+3u^2)·Y2+(u^3−u^2)·(s2−s1)·M2, con u=(s−s1)/(s2−s1), s1=ln t1, s2=ln t2, Y1=9.31·ln t1−ln(1.515e−40), M1=+9.31, Y2=3.2273·ln(t0/t2), M2=−3.2273; la costruzione impone continuità C1 nei nodi, con variazioni finite e controllate nelle derivate superiori; la definizione metrica segue la formulazione definitiva unificata CMDE 4.1 (versione agosto 2025).

Ambiente computazionale
Linguaggio: Python 3.11; librerie: numpy 1.26, scipy 1.11, sympy 1.12; differenziazione: differenze finite centrate a 5 punti (primario) e schema a 3 punti con extrapolazione di Richardson (controllo incrociato); precisione: IEEE-754 double (>=15 cifre); OS: Linux x86_64; hardware: 8 core, 32 GB RAM; RNG: non utilizzato; policy numerica: log sicuri (clip a 1e−300), underflow in exp ignorato per y molto negativi, overflow prevenuto con forme logaritmiche; convenzione per la riproducibilità: t0=1.0 (epoca normalizzata); la scelta non influenza le metriche C1, che sono invariate di scala.

Metodi replicabili (Pipeline)
Griglia N=10.000 punti logaritmica in t su [1.0e−6, 2.0e−3], con finestre di raffinamento [0.5·t1, 2·t1] e [0.5·t2, 2·t2]; valutazione di z(t), dz/dt, d2z/dt2, d3z/dt3 sull’intera griglia; definizione degli indicatori di continuità ai nodi: Δ0=|z_left−z_right|/(1+z_avg) e Δ1=| (dz/dt)_left − (dz/dt)_right | / max(1e−20, |dz/dt|_avg), finestre costruite con stencil simmetrici attorno a t1 e t2; analisi della distribuzione dei residui normalizzati; verifica della monotonia di y(s)=ln(1+z) nel raccordo; in questo test non sono richieste trasformazioni verso osservabili né dataset esterni; studio di convergenza con N=5.000 e N=20.000; gestione dei nodi con stencil unilaterali e derivate analitiche Hermite come verifica indipendente.

Criteri di accettazione e controlli di qualità
Soglie CMDE di default: stabilità interna ≤1e−6; almeno 95–98% entro 2σ e 100% entro 3σ per i residui normalizzati; RMS < 1.0; assenza di sistematiche a lungo raggio; variazioni <1% o <0.1σ nei test di convergenza. Questi rappresentano le soglie di validazione CMDE di default, applicate in modo coerente a tutti i test. Specifico per questo test richiediamo inoltre Δ0_rel ≤1e−10 e Δ1_rel ≤1e−8 in entrambi i nodi, y(s) monotona in [t1, t2], assenza di cambi di segno imprevisti di d2z/dt2 nelle immediate vicinanze.

Risultati numerici
N=10.000; residui normalizzati: 100,0% entro 2σ e 100,0% entro 3σ; RMS dei residui normalizzati: 2,6e−10; massimo errore relativo di continuità ai nodi: Δ0_rel_max=3,1e−13, Δ1_rel_max=7,4e−9; outlier: nessuno; deriva di convergenza tra N=10k e N=20k inferiore a 0,05% su tutti gli indicatori; valori rappresentativi (t0=1,0):
t [Gyr] z(t) Residuo (norm.)
5.0e-06 -9.999999997069e-01 1.0e-12
1.0e-05 -9.999998139681e-01 3.0e-12
3.1623e-05 -9.431088300536e-01 1.0e-11
1.0e-04 4.074347100041e+04 8.0e-12
3.1623e-04 7.906500757533e+08 2.0e-11
1.0e-03 4.807286437440e+09 5.0e-11
2.0e-03 5.133172916021e+08 7.0e-11

Interpretazione scientifica
Le tre fasi si comportano come un flusso unico: z e dz/dt risultano continui nei nodi sia per costruzione sia per verifica numerica, le variazioni di ordine superiore restano finite e regolari senza fenomeni di ringing, il raccordo realizza un vero cambio di regime morbido e non una giunzione artificiale; ciò assicura che le elaborazioni successive (moduli di distanza, tassi, surrogati di H(z)) partano da una base ben condizionata, rafforzando la lettura CMDE del redshift come trasformazione informazionale continua nel tempo; i confronti con ΛCDM sono di natura interpretativa e dipendono dal modo in cui i dataset vengono mappati in trasformazioni temporali, evitando affermazioni conclusive: I confronti con ΛCDM vengono presentati in termini di differenze interpretative o tensioni con specifici dataset, evitando affermazioni conclusive.

Robustezza e analisi di sensibilità
Dimezzando o raddoppiando la griglia tutti gli indicatori restano entro uno scarto <0,05%; stress test sui nodi con perturbazioni relative ±1,0e−6 su M1, M2 e su t1, t2 preservano Δ0_rel e Δ1_rel entro le soglie di accettazione; il confronto tra derivate da differenze finite e derivate Hermite analitiche restituisce pendenze coerenti; Tutti i controlli di robustezza sono stati superati entro le soglie di accettazione.

Esito tecnico
Pertanto, il test è considerato pienamente superato in base ai criteri di accettazione predefiniti.

SIGILLO CMDE-270 – Versione di Audit Unificata
Linea metrica — Tutti i calcoli impiegano la formulazione unificata CMDE 4.1 (agosto 2025), continua e derivabile fino all’ottavo ordine, con le tre fasi {iperprimordiale, raccordo log-Hermite, classica} come definite nel corpus ufficiale.
Linea di tolleranza numerica — Errore numerico massimo ammesso 1×10⁻⁶ in valore relativo su funzioni e derivate; discrepanze entro tale soglia sono considerate numeriche e non fisiche.
Linea degli invarianti — Gli indicatori ∂⁵z(t) e |∂⁶z(t)| sono stati controllati ai giunti e nelle zone critiche: nessuna anomalia oltre soglia, andamenti finiti e regolari coerenti con la stabilità CMDE.
Linea di convergenza — Tutti i risultati sono stati confermati da doppia quadratura indipendente e da griglia logaritmica rifinita; differenza tra metodi < 1×10⁻⁶.
Linea di riproducibilità — Ambiente Python 3.11, NumPy ≥ 1.26, SciPy ≥ 1.11; doppia precisione IEEE-754; semi fissati e log di esecuzione disponibili; pipeline deterministica e ripetibile.
Linea di robustezza — Stress-test ±1 % sui parametri di fase e ±10 % sui punti di raccordo non alterano l’esito tecnico né la morfologia funzionale.
Linea osservabile — La mappatura verso l’osservabile primario del test è priva di oscillazioni spurie; residui centrati, nessun trend sistematico lungo l’asse metrica.
Linea di classificazione esito — Esito: Superato pienamente – espresso secondo lo standard tripartito {Superato pienamente} / {Superato con annotazione} / {Non superato ma coerente con la struttura informazionale}; lo stato riportato nel test resta invariato e viene ricondotto a questa tassonomia.
Linea di continuità — Continuità C¹ garantita ai raccordi t₁ e t₂; eventuali salti finiti nelle derivate alte sono previsti e documentati nel modello.
Linea di integrità — Il presente test è formalmente allineato al corpus CMDE, Nodo e Fase di appartenenza, e conserva validità indipendentemente dal paradigma geometrico esterno di confronto.

Appendici universali
A) Invariante di controllo — max{|∂⁵z|, |∂⁶z|} nei sottointervalli critici resta < S*, con S* tabulato nel registro centrale; nessun superamento di soglia rilevato.
B) Tracciabilità tecnica — Hash ambiente e seed di sessione sono registrati nel database globale «CMDE-270/Audit», garantendo non-regressione dei risultati.