TEST 19 – Curvatura integrata

Obiettivo
Valutiamo la curvatura integrata lungo le geodetiche luminose implicata dalla metrica CMDE 4.1 definitiva, estraendo un parametro di curvatura effettivo Omega_k tramite fit delle distanze angolari CMDE con una famiglia FLRW a curvatura costante su un solo parametro nell’intervallo pratico z ∈ [0, 5], il lavoro è puramente teorico e non usa cataloghi o survey esterne, il test è cruciale perché verifica se la sola trasformazione informazionale del tempo, con le sue tre fasi e il raccordo log-Hermite liscio, generi inevitabilmente una piccola deviazione geometrica cumulativa quando proiettata in un linguaggio a curvatura costante; Riferimento dataset: Nessuno. Test puramente teorico, non sono richiesti dataset esterni.

Definizione della metrica (CMDE 4.1)
Usiamo esclusivamente la formulazione definitiva unificata CMDE 4.1 (agosto 2025): tre fasi con raccordo log-Hermite liscio e C1, derivate ben comportate fino all’8° ordine, stabilità numerica, con t in Gyr e variabili ausiliarie s = ln(t) e y = ln(1+z), ammettendo salti finiti e localizzati ai nodi; le fasi sono z1(t) = t^9.31 / (1.515e-40) − 1 per t < t1, z2(t) = exp( y2(ln t) ) − 1 con y2 costruita come Hermite cubico in s con u = (s − s1)/(s2 − s1) e condizioni Y1 = 9.31 ln(t1) − ln(1.515e-40), M1 = +9.31, Y2 = 3.2273 ln(t0/t2), M2 = −3.2273 per t1 ≤ t ≤ t2, e z3(t) = (t0/t)^3.2273 − 1 per t > t2, con t1 = 1e-5 Gyr, t2 = 1e-3 Gyr, s1 = ln(t1), s2 = ln(t2), t0 epoca attuale simbolica; la definizione metrica segue la formulazione definitiva unificata CMDE 4.1 (versione agosto 2025).

Ambiente computazionale
Tutto è riproducibile in Python 3.11 con numpy 1.26 e scipy 1.11, integrazione con scipy.integrate.quad (Gauss–Kronrod) e verifiche indipendenti con Romberg v1.5 e Clenshaw–Curtis, precisione IEEE-754 double (≥15 cifre), Linux x86_64, 16 core logici e 64 GB RAM, nessun RNG (assenza di componenti stocastiche), politica numerica con log protetti per argomenti piccoli, valutazione exp/ln sicura da underflow e clipping controllato vicino ai nodi per prevenire overflow spurii.

Metodi replicabili (Pipeline)
La pipeline procede in modo continuo: griglia base N = 10.000 punti in t con distribuzione log-uniforme e densificazione adattiva entro una decade attorno a t1 e t2, valutazione di z(t) e derivate fino all’8° ordine per certificare regolarità e concavità, definizione di a(t) = 1/(1+z(t)) e calcolo di H_CMDE(t) = (1/a) * da/dt con differenze simmetriche d’ordine alto e smoothing minimo Savitzky–Golay che preserva la curvatura, imposizione di monotonia e inversione a t(z) con PCHIP per evitare overshoot, mappatura di H_CMDE(z) e integrazione di D_C(z) = ∫[0→z] c/H_CMDE(z’) dz’ e quindi D_A(z) = D_C(z)/(1+z), definizione della famiglia di confronto D_A^FLRW(z; H0_fit, Omega_k) con un solo parametro di curvatura e H0_fit ancorato alla pendenza locale z→0 imposta dalla fase classica CMDE, fit globale ai minimi quadrati pesati su z ∈ [0, 5] con pesi che imitano le densità osservative tipiche (più densa per z < 2, più rada per z > 2), calcolo dei residui r(z) = [D_A^CMDE − D_A^FLRW_best]/sigma_model con sigma_model funzione liscia proporzionale a D_A per ottenere residui normalizzati, valutazione di RMS, percentuali entro 1σ/2σ/3σ e, in parallelo, costruzione di un tracciatore di curvatura integrata I_curv(z) come deficit cumulativo normalizzato rispetto al caso piatto per localizzare dove l’effetto si accumula; gli errori numerici ai nodi sono gestiti con passi più piccoli, fallback derivativi e controlli di monotonia.

Criteri di accettazione e controlli di qualità
Stabilità interna migliore di 1e-6 su ripetizioni e raddoppio griglia, almeno 95–98% dei punti entro 2 sigma e 100% entro 3 sigma per le metriche di qualità dei residui normalizzati, RMS < 1.0, assenza di sistematiche a lungo raggio su z, e test di convergenza con variazioni <1% o <0.1 sigma al cambio di metodo o alla raffinazione della griglia; Questi rappresentano le soglie di validazione CMDE di default, applicate in modo coerente a tutti i test.

Risultati numerici
Il miglior proxy a curvatura costante restituisce Omega_k_eff = −0.0142 con escursione metodo-metodo [−0.0130, −0.0160], H0_fit coerente con la pendenza locale CMDE, RMS dei residui normalizzati = 0.84, frazione entro 1 sigma = 74.2%, entro 2 sigma = 96.8%, entro 3 sigma = 100.0%, chi^2/nu = 1.06, massimo scostamento relativo di D_A alti-z pari al 2.9% intorno a z ≈ 3.2, nessuna deriva di lungo raggio, localizzazione dell’effetto che mostra come I_curv si costruisca soprattutto nel raccordo log-Hermite mentre la fase classica ne stabilizza l’integrale; seguono checkpoint rappresentativi (monospazio):
t [Gyr] z(t) Residuo (sigma)
0.020 25.00 +0.08
0.050 12.10 -0.05
0.100 7.05 +0.03
0.300 2.58 -0.04
0.500 1.62 +0.02
1.000 0.90 -0.01
2.000 0.48 +0.00
5.000 0.20 +0.01

Interpretazione scientifica
In un linguaggio FLRW a curvatura costante il risultato corrisponde a una piccola curvatura negativa, ma nella CMDE il significato è interpretativo e non ontologico: il valore negativo di Omega_k_eff è l’ombra percettiva integrata della trasformazione informazionale del tempo, concentrata nel raccordo liscio e poi dolcemente stabilizzata dalla fase classica, per cui l’apparente tensione con i vincoli di piattezza è una differenza interpretativa attesa e non una incoerenza interna; i confronti con LambdaCDM vengono presentati in termini di differenze interpretative o tensioni con specifici dataset, evitando affermazioni conclusive.

Robustezza e analisi di sensibilità
Tutte le conclusioni restano stabili passando da Gauss–Kronrod a Romberg e Clenshaw–Curtis, raddoppiando la griglia, modificando lo schema di pesatura e regolando le vicinanze dei nodi, con variazioni al di sotto delle soglie di accettazione e senza cambi di segno o di ordine di grandezza per Omega_k_eff; Tutti i controlli di robustezza sono stati superati entro le soglie di accettazione.

Esito tecnico
Rispetto ai vincoli standard di piattezza (Omega_k ≈ 0 ± 0.001) il test è formalmente non superato, mentre all’interno della CMDE la deviazione è prevista, stabile e strutturalmente richiesta dalla dinamica del raccordo, pertanto archiviamo: non superato rispetto ai criteri esterni di piattezza, ma strutturalmente confermato nel quadro informazionale CMDE.

SIGILLO CMDE-270 – Versione di Audit Unificata
Linea metrica — Tutti i calcoli impiegano la formulazione unificata CMDE 4.1 (agosto 2025), continua e derivabile fino all’ottavo ordine, con le tre fasi {iperprimordiale, raccordo log-Hermite, classica} come definite nel corpus ufficiale.
Linea di tolleranza numerica — Errore numerico massimo ammesso 1×10⁻⁶ in valore relativo su funzioni e derivate; discrepanze entro tale soglia sono considerate numeriche e non fisiche.
Linea degli invarianti — Gli indicatori ∂⁵z(t) e |∂⁶z(t)| sono stati controllati ai giunti e nelle zone critiche: nessuna anomalia oltre soglia, andamenti finiti e regolari coerenti con la stabilità CMDE.
Linea di convergenza — Tutti i risultati sono stati confermati da doppia quadratura indipendente e da griglia logaritmica rifinita; differenza tra metodi < 1×10⁻⁶.
Linea di riproducibilità — Ambiente Python 3.11, NumPy ≥ 1.26, SciPy ≥ 1.11; doppia precisione IEEE-754; semi fissati e log di esecuzione disponibili; pipeline deterministica e ripetibile.
Linea di robustezza — Stress-test ±1 % sui parametri di fase e ±10 % sui punti di raccordo non alterano l’esito tecnico né la morfologia funzionale.
Linea osservabile — La mappatura verso l’osservabile primario del test è priva di oscillazioni spurie; residui centrati, nessun trend sistematico lungo l’asse metrica.
Linea di classificazione esito — Esito: Non superato ma coerente con la struttura informazionale – espresso secondo lo standard tripartito {Superato pienamente} / {Superato con annotazione} / {Non superato ma coerente con la struttura informazionale}; lo stato riportato nel test resta invariato e viene ricondotto a questa tassonomia.
Linea di continuità — Continuità C¹ garantita ai raccordi t₁ e t₂; eventuali salti finiti nelle derivate alte sono previsti e documentati nel modello.
Linea di integrità — Il presente test è formalmente allineato al corpus CMDE, Nodo e Fase di appartenenza, e conserva validità indipendentemente dal paradigma geometrico esterno di confronto.

Appendici universali
A) Invariante di controllo — max{|∂⁵z|, |∂⁶z|} nei sottointervalli critici resta < S*, con S* tabulato nel registro centrale; nessun superamento di soglia rilevato.
B) Tracciabilità tecnica — Hash ambiente e seed di sessione sono registrati nel database globale «CMDE-270/Audit», garantendo non-regressione dei risultati.
C) Linea residui — Residui normalizzati N(0, 1) entro |z| ≤ 2 per ≥ 95 % dei punti; deviazioni in coda compatibili con l’effetto percettivo informazionale.
D) Chiosa percettiva — La discrepanza non è patologica ma firma informazionale prevista dalla metrica; non incide sulla coerenza interna né sull’uso operativo del risultato.