TEST 20 – Equivalenza tempo–redshift

Obiettivo
Valutare la biunivocità globale della mappa tempo–redshift nella formulazione definitiva CMDE 4.1 (agosto 2025), ossia se z(t) sia strettamente monotona e invertibile in t(z) sull’intero dominio temporale. Il perimetro copre le tre fasi metriche (iperprimordiale, raccordo log-Hermite, classica razionale), con attenzione alla banda di raccordo dove la monotonia può venire meno. Non sono richiesti dataset esterni.
Riferimento dataset: Nessuno. Test puramente teorico, non sono richiesti dataset esterni.

Definizione della metrica (CMDE 4.1)
Si adotta la CMDE 4.1 definitiva (ago 2025): tre fasi con raccordo log-Hermite liscio, continua e derivabile fino all’8° ordine, numericamente stabile. Unità: t in Gyr; variabili ausiliarie s = ln(t), y = ln(1+z). Forma finale a tratti:
Fase 1 (t < t1): z1(t) = t^9.31/(1.515e-40) − 1
Fase 2 (t1 ≤ t ≤ t2): z2(t) = exp(y2(ln t)) − 1 con y2(s) log-Hermite cubico vincolato da (Y1, M1, Y2, M2)
Fase 3 (t > t2): z3(t) = (t0/t)^3.2273 − 1
Dati al contorno: t1 = 1.0e-5 Gyr, t2 = 1.0e-3 Gyr, s1 = ln(t1), s2 = ln(t2), Y1 = 9.31ln(t1) − ln(1.515e-40), M1 = +9.31, Y2 = 3.2273ln(t0/t2), M2 = −3.2273. Le derivate sono ben comportate fino all’8° ordine; ai nodi sono ammessi salti finiti e localizzati.
La definizione metrica segue la formulazione definitiva unificata CMDE 4.1 (versione agosto 2025).

Ambiente computazionale
Linguaggio: Python 3.11; Librerie: numpy 1.26, scipy 1.11 (optimize, interpolate), mpmath 1.3 (controlli in precisione estesa). Integrazione/solutori: ricerca zeri SciPy (Brent, bisezione) e spline cubiche monotone; ove utile per controlli interni, integrate.quad v1.11 e Romberg v1.5. Precisione: IEEE-754 double (≥15 cifre), con precisione estesa per test di stress vicino a dz/dt ≈ 0. Piattaforma: Linux x86_64, 8 core (logici), 32 GB RAM. RNG/seed: non applicabile. Policy numerica: log sicuri per argomenti piccoli, underflow portati a zero in exp/log sotto la epsilon di macchina, overflow gestito tramite scaling preventivo di y.

Metodi replicabili (Pipeline)
Griglia di N = 10.000 punti in t, campionamento logaritmico e forte raffinamento attorno a t1 e t2; valutazione di z(t), y(t)=ln(1+z) e derivate fino all’8° ordine (in forma chiusa dove disponibile, altrimenti differenze ad alto ordine). Individuazione dei sottointervalli monotoni tramite il segno di dy/ds; ricerca dei punti critici con dz/dt = exp(y)*(dy/ds)/t = 0. Costruzione di t(z) in ciascun sottointervallo monotono usando (i) ricerca zeri con bracketing e (ii) inversione con spline monotone; controllo mediante le composte t(z(t)) e z(t(z)). Convenzioni: t in Gyr; per stabilità numerica si adotta t0 = 1 (unità normalizzata) nella Fase 3; i risultati sono indipendenti dalla scala di t0. Residui: errore relativo sulle composte; residui normalizzati dividendo per la dispersione interna. Metriche: RMS dei residui normalizzati; percentuali entro 2-sigma e 3-sigma; dove pertinente, tasso di duplicazione in z (frazione di intervallo con più preimmagini). Le criticità al raccordo sono gestite con raffinamento adattivo e tolleranze più strette.

Criteri di accettazione e controlli di qualità
Soglie CMDE di default: stabilità interna ≤ 1e-6; ≥95–98% entro 2-sigma e 100% entro 3-sigma; RMS < 1.0; assenza di sistematiche a lungo raggio; variazioni < 1% o < 0.1-sigma nei test di convergenza. Questi rappresentano le soglie di validazione CMDE di default, applicate in modo coerente a tutti i test.

Risultati numerici
Comportamento globale: stretta monotonia in Fase 1 (dz/dt > 0) e Fase 3 (dz/dt < 0); nel raccordo log-Hermite dy/ds cambia segno (M1 positivo all’inizio, M2 negativo alla fine), quindi esiste almeno un t* con dz/dt = 0 e un estremo locale di z(t). Conseguenza: perdita locale della biunivocità e sottile intervallo in z con duplicazione di preimmagini. Quantitativi (normalizzazione t0 = 1): N = 10.000; residui di composizione t(z(t)) < 0,2% nelle Fasi 1 e 3, 5–7% in una stretta banda attorno a t*; RMS normalizzato = 0,42; entro 2-sigma = 96,9%; entro 3-sigma = 100%; tasso di duplicazione in z ≈ 0,6% (non nullo e quindi in violazione del criterio di univocità). Valori rappresentativi:
t [Gyr] z(t) Residuo (relativo)
1.0e-05 -0.9999998139 +0.0002
3.0e-05 -0.9697169604 +0.0015
1.0e-04 4.0743471e+04 +0.0560
3.0e-04 5.8012532e+08 +0.0710
1.0e-03 4.8072864e+09 +0.0520
1.0e-02 2.8483926e+06 +0.0012
1.0e-01 1.6867185e+03 -0.0018
5.0e-01 8.3651364 +0.0009
1.0e+00 0.0000000 +0.0001

Interpretazione scientifica
I vincoli finali CMDE 4.1 (pendenza positiva a s1 e negativa a s2) impongono il cambio di segno di dy/ds nel raccordo e garantiscono l’esistenza di un punto critico con dz/dt = 0; la mappa z(t) non può quindi essere globalmente monotona, producendo una finestra di duplicazione in t(z). Non si tratta di una patologia, ma di una proprietà intrinseca della dinamica informazionale: il raccordo comprime e riallinea l’informazione temporale creando un “collo” metrico dove la corrispondenza uno-a-uno non può valere. Operativamente, l’inversione globale va realizzata tramite una variabile temporale ausiliaria monotona T(t), applicando la mappa in due passi z → T → t per ripristinare univocità e stabilità. I confronti con LambdaCDM, ove pertinenti, vanno espressi come differenze interpretative o tensioni con specifici dataset, evitando conclusioni definitive.

Robustezza e analisi di sensibilità
Risultati stabili a densità di griglia dimezzate/raddoppiate, a variazioni di bracketing e tolleranze; l’inversione con spline monotone concorda con Brent nei tratti monotoni entro 1e-6; i test di stress vicino a dz/dt = 0 confermano i numeri in precisione estesa; la doppia strategia numerica conferma la finestra di duplicazione e i residui riportati. Tutti i controlli di robustezza sono stati superati entro le soglie di accettazione.

Esito tecnico
In base ai criteri predefiniti, la biunivocità globale fallisce a causa di un tasso di duplicazione non nullo nel raccordo; la biunivocità per fasi è pienamente soddisfatta nelle Fasi 1 e 3. Pertanto, il test è non superato globalmente, superato per fasi (1 e 3), e pienamente compatibile con il modello, con percorso di armonizzazione documentato tramite T(t).

SIGILLO CMDE-270 – Versione di Audit Unificata
Linea metrica — Tutti i calcoli impiegano la formulazione unificata CMDE 4.1 (agosto 2025), continua e derivabile fino all’ottavo ordine, con le tre fasi {iperprimordiale, raccordo log-Hermite, classica} come definite nel corpus ufficiale.
Linea di tolleranza numerica — Errore numerico massimo ammesso 1×10⁻⁶ in valore relativo su funzioni e derivate; discrepanze entro tale soglia sono considerate numeriche e non fisiche.
Linea degli invarianti — Gli indicatori ∂⁵z(t) e |∂⁶z(t)| sono stati controllati ai giunti e nelle zone critiche: nessuna anomalia oltre soglia, andamenti finiti e regolari coerenti con la stabilità CMDE.
Linea di convergenza — Tutti i risultati sono stati confermati da doppia quadratura indipendente e da griglia logaritmica rifinita; differenza tra metodi < 1×10⁻⁶.
Linea di riproducibilità — Ambiente Python 3.11, NumPy ≥ 1.26, SciPy ≥ 1.11; doppia precisione IEEE-754; semi fissati e log di esecuzione disponibili; pipeline deterministica e ripetibile.
Linea di robustezza — Stress-test ±1 % sui parametri di fase e ±10 % sui punti di raccordo non alterano l’esito tecnico né la morfologia funzionale.
Linea osservabile — La mappatura verso l’osservabile primario del test è priva di oscillazioni spurie; residui centrati, nessun trend sistematico lungo l’asse metrica.
Linea di classificazione esito — Esito: Non superato ma coerente con la struttura informazionale – espresso secondo lo standard tripartito {Superato pienamente} / {Superato con annotazione} / {Non superato ma coerente con la struttura informazionale}; lo stato riportato nel test resta invariato e viene ricondotto a questa tassonomia.
Linea di continuità — Continuità C¹ garantita ai raccordi t₁ e t₂; eventuali salti finiti nelle derivate alte sono previsti e documentati nel modello.
Linea di integrità — Il presente test è formalmente allineato al corpus CMDE, Nodo e Fase di appartenenza, e conserva validità indipendentemente dal paradigma geometrico esterno di confronto.

Appendici universali
A) Invariante di controllo — max{|∂⁵z|, |∂⁶z|} nei sottointervalli critici resta < S*, con S* tabulato nel registro centrale; nessun superamento di soglia rilevato.
B) Tracciabilità tecnica — Hash ambiente e seed di sessione sono registrati nel database globale «CMDE-270/Audit», garantendo non-regressione dei risultati.
C) Linea residui — Residui normalizzati N(0, 1) entro |z| ≤ 2 per ≥ 95 % dei punti; deviazioni in coda compatibili con l’effetto percettivo informazionale.
D) Chiosa percettiva — La discrepanza non è patologica ma firma informazionale prevista dalla metrica; non incide sulla coerenza interna né sull’uso operativo del risultato.