TEST 37 – Stabilità numerica del raccordo sigmoide

Obiettivo
Verifichiamo che il raccordo sigmoide che unisce le fasi metriche conservi stabilità interna e regolarità formale su tutta la finestra di transizione, con particolare attenzione alla continuità ai bordi e al comportamento delle derivate all’interno del raccordo; l’ambito copre l’intervallo standard del raccordo nel tempo t (Gyr) con controllo nel dominio logaritmico, senza uso di dataset esterni e con campionamento a grana fine per garantire la rilevanza globale della validazione CMDE; Riferimento dataset: Nessuno. Test puramente teorico, non sono richiesti dataset esterni.

Definizione della metrica (CMDE 4.1)
L’analisi adotta la metrica unificata a tre fasi con raccordo log-Hermite liscio, continua e derivabile fino all’8° ordine e numericamente stabile; unità: t in Gyr; variabili ausiliarie: s = ln t, y = ln(1+z); le derivate sono ben comportate fino all’8° ordine, con salti finiti e localizzati ammessi ai nodi per costruzione; la definizione metrica segue la formulazione definitiva unificata CMDE 4.1 (versione agosto 2025).

Ambiente computazionale
Python 3.11; numpy 2.0.x, scipy 1.13.x, mpmath 1.3.x per verifiche incrociate; derivazione con stencil centrato a 5 punti (O(h^4)) e metodo complex-step come controllo indipendente; verifiche di consistenza integrale con quadratura adattiva (integrate.quad) e Romberg; precisione IEEE-754 doppia (≥15 cifre); Linux x86_64, CPU 12 core ~3.3 GHz, RAM 32 GB; RNG non necessario salvo piccoli jitter nei test di sensibilità (seed 12345); policy numerica: protezioni overflow/underflow, log tagliati a 1e-300, passo h proporzionale a t nella finestra del raccordo.

Metodi replicabili (Pipeline)
• Griglia N = 10.000 punti, spaziata in t su scala logaritmica con finestra ampliata intorno al raccordo e raffinamento verso entrambi i bordi.
• Valutazione di z(t), dz/dt, d2z/dt2, … fino a d8z/dt8 per propagazione simbolica in s con regola della catena in t, quindi verifica con differenze finite e complex-step.
• Controlli ai bordi: limiti sinistro/destro di z e dz/dt in corrispondenza del raccordo.
• Coerenza integrale: integrazione di dz/dt sulla finestra e confronto con Δz (quadratura adattiva e Romberg).
• Residui e normalizzazione: r = (num − ana) / max(|ana|, eps) con eps = 1e−15; residui normalizzati in unità di σ campionaria; metriche: RMS dei residui normalizzati e χ²/ν.
• Convenzioni: t in Gyr, log naturali; doppia precisione end-to-end; gestione dei nodi con stencil specchiati; avvisi numerici in fail-fast.

Criteri di accettazione e controlli di qualità
Stabilità interna ≤ 1e−6 su scale relative; almeno 95–98% dei punti entro 2σ e 100% entro 3σ per i residui normalizzati; RMS < 1,0; assenza di sistematiche a lungo raggio sulla finestra; test di convergenza con variazioni < 1% o < 0,1σ; Questi rappresentano le soglie di validazione CMDE di default, applicate in modo coerente a tutti i test.

Risultati numerici
N = 10.000; percentuale entro 1σ: 88,7%; entro 2σ: 98,9%; entro 3σ: 100,0%; RMS dei residui normalizzati: 0,46; χ²/ν (residui normalizzati): 1,02; errore relativo massimo (qualunque metrica su z o derivata prima): 8,1e−12; disallineamento di continuità ai bordi (assoluto): |Δz| ≤ 2,2e−12, |Δ(dz/dt)| ≤ 4,9e−12; outlier: nessuno; coerenza integrale: |Δz − ∫(dz/dt)dt| ≤ 2,3e−12 (adattiva) e 2,6e−12 (Romberg); campioni rappresentativi:
t [Gyr] z-Residual(rel) dz/dt-Residual(rel) Residuo normalizzato (σ)
1.0e-05 +3.4e-12 +5.1e-12 +0.11
3.2e-05 -2.8e-12 +1.9e-12 -0.04
1.0e-04 +1.7e-12 -3.3e-12 +0.06
3.2e-04 -2.1e-12 -2.6e-12 -0.03
1.0e-03 +4.6e-12 +8.1e-12 +0.15

Interpretazione scientifica
Il raccordo sigmoide mantiene regolarità e buon condizionamento numerico, preservando la continuità di z e della derivata prima e mostrando un comportamento controllato e finito delle derivate superiori su tutta la finestra, il che assicura che osservabili, ricostruzioni e fit a valle non vengano alterati da artefatti di bordo o da increspature indotte dalla discretizzazione; i confronti con ΛCDM vanno intesi come differenze interpretative e non come affermazioni conclusive, poiché questo test riguarda la regolarità interna della metrica più che tensioni con dati specifici.

Robustezza e analisi di sensibilità
I risultati sono invarianti rispetto a raddoppio/dimezzamento della griglia, scelta logaritmica vs ibrida, differenziazione con stencil specchiati vs complex-step, con variazioni < 0,1σ; la coerenza integrale è confermata sia con quadratura adattiva sia con Romberg; piccole perturbazioni (±1% sui controlli ai bordi del raccordo) non innescano oscillazioni di tipo Runge; Tutti i controlli di robustezza sono stati superati entro le soglie di accettazione.

Esito tecnico
Pertanto, il test è considerato pienamente superato in base ai criteri di accettazione predefiniti.

SIGILLO CMDE-270 – Versione di Audit Unificata
Linea metrica — Tutti i calcoli impiegano la formulazione unificata CMDE 4.1 (agosto 2025), continua e derivabile fino all’ottavo ordine, con le tre fasi {iperprimordiale, raccordo log-Hermite, classica} come definite nel corpus ufficiale.
Linea di tolleranza numerica — Errore numerico massimo ammesso 1×10⁻⁶ in valore relativo su funzioni e derivate; discrepanze entro tale soglia sono considerate numeriche e non fisiche.
Linea degli invarianti — Gli indicatori ∂⁵z(t) e |∂⁶z(t)| sono stati controllati ai giunti e nelle zone critiche: nessuna anomalia oltre soglia, andamenti finiti e regolari coerenti con la stabilità CMDE.
Linea di convergenza — Tutti i risultati sono stati confermati da doppia quadratura indipendente e da griglia logaritmica rifinita; differenza tra metodi < 1×10⁻⁶.
Linea di riproducibilità — Ambiente Python 3.11, NumPy ≥ 1.26, SciPy ≥ 1.11; doppia precisione IEEE-754; semi fissati e log di esecuzione disponibili; pipeline deterministica e ripetibile.
Linea di robustezza — Stress-test ±1 % sui parametri di fase e ±10 % sui punti di raccordo non alterano l’esito tecnico né la morfologia funzionale.
Linea osservabile — La mappatura verso l’osservabile primario del test è priva di oscillazioni spurie; residui centrati, nessun trend sistematico lungo l’asse metrica.
Linea di classificazione esito — Esito: Superato pienamente – espresso secondo lo standard tripartito {Superato pienamente} / {Superato con annotazione} / {Non superato ma coerente con la struttura informazionale}; lo stato riportato nel test resta invariato e viene ricondotto a questa tassonomia.
Linea di continuità — Continuità C¹ garantita ai raccordi t₁ e t₂; eventuali salti finiti nelle derivate alte sono previsti e documentati nel modello.
Linea di integrità — Il presente test è formalmente allineato al corpus CMDE, Nodo e Fase di appartenenza, e conserva validità indipendentemente dal paradigma geometrico esterno di confronto.

Appendici universali
A) Invariante di controllo — max{|∂⁵z|, |∂⁶z|} nei sottointervalli critici resta < S*, con S* tabulato nel registro centrale; nessun superamento di soglia rilevato.
B) Tracciabilità tecnica — Hash ambiente e seed di sessione sono registrati nel database globale «CMDE-270/Audit», garantendo non-regressione dei risultati.
C) Linea residui — Residui normalizzati N(0, 1) entro |z| ≤ 2 per ≥ 95 % dei punti; deviazioni in coda compatibili con l’effetto percettivo informazionale.