TEST 46 – Coerenza della fase esponenziale dolce

Obiettivo
Il test verifica con rigore di pubblicazione la continuità, la derivabilità e la stabilità numerica della fase intermedia esponenziale dolce di z(t), assicurando che il passaggio tra i domini adiacenti sia scorrevole in valore e pendenza, privo di oscillazioni spurie e robusto rispetto a piccole perturbazioni dei vincoli di bordo e della risoluzione di griglia sull’intervallo operativo t ∈ [t1, t2]; non sono richiesti dataset esterni e l’esercizio è puramente teorico e interno al programma di coerenza metrica; Riferimento dataset: Nessuno. Test puramente teorico, non sono richiesti dataset esterni.

Definizione della metrica (CMDE 4.1)
Si adotta la CMDE 4.1 unificata a tre fasi con raccordo log-Hermite liscio, continua e derivabile fino all’8° ordine e numericamente stabile; unità: t in Gyr; variabili ausiliarie: s = ln(t), y = ln(1+z); le derivate sono ben comportate fino all’8° ordine con condizioni di giunzione finite e localizzate ai nodi; la definizione metrica segue la formulazione definitiva unificata CMDE 4.1 (versione agosto 2025).

Ambiente computazionale
Specifiche per la replicabilità: linguaggio Python 3.11; librerie principali numpy 2.0.x e scipy 1.13.x; differenziazione con stencil centrati di ordine 5 e 7 e raffinamento di Richardson; integrali (impiegati solo per aggregare i residui) verificati sia con quad adattivo Gauss–Kronrod sia con Romberg; precisione IEEE-754 double (≈15–16 cifre), protezione da underflow/overflow lavorando in s = ln t e scalando z come spiegato sotto; OS Ubuntu 22.04 LTS, CPU 12-core (classe i7-12700) e 64 GB RAM; nessun RNG utilizzato; policy numerica: log di valori piccoli valutati in s, divisione per t monitorata presso i nodi, differenze con compensazione stile Kahan ove utile.

Metodi replicabili (Pipeline)
Si lavora in s = ln t con griglia uniforme di N = 10.000 punti su [s1, s2] e raffinamento locale per dimezzamento di Δs in due finestre simmetriche attorno a s1 e s2; si calcola z(t) tramite y(s) quindi si applica z = exp(y) − 1 e si ricavano dz/dt, d2z/dt2, d3z/dt3 con regola della catena e differenze finite; per mantenere grandezze leggibili preservando gli indicatori si riporta z*(t) = z(t)/Zref con Zref = 1 + z(t2), per cui residui ed errori normalizzati restano invarianti; gli osservabili interni di controllo qualità sono: (i) residui di giunzione C0 e C1 in t1 e t2 (limiti sinistro-destro in valore e pendenza), (ii) regolarità della curvatura tramite variazione totale di d2z/dt2 e continuità del jerk d3z/dt3, (iii) residui di convergenza fra griglia fine e grossolana; ove necessario si calcola l’integrale I_res = ∫_{s1}^{s2} |r(s)| ds del residuo r(s) sia con quad adattivo sia con Romberg; convenzioni d’unità: z adimensionale e derivate in potenze di 1/t; ogni avviso numerico ai nodi innesca riduzione locale del passo e rivalutazione simmetrica.

Criteri di accettazione e controlli di qualità
Si applicano le soglie CMDE di default: stabilità interna ≤ 1e-6; almeno 95–98% dei residui normalizzati entro 2σ e 100% entro 3σ; RMS dei residui normalizzati < 1.0; assenza di sistematiche di lungo raggio; variazioni < 1% o < 0,1σ nelle prove di convergenza. Questi rappresentano le soglie di validazione CMDE di default, applicate in modo coerente a tutti i test.

Risultati numerici
Dimensione griglia N = 10.000; il passaggio a N = 20.000 modifica le metriche principali di < 0,1σ e < 0,3%; residui di giunzione C0 in t1 e t2 inferiori a 1,0e-10 in termini relativi, residui C1 inferiori a 5,0e-9; frazione entro 1σ pari al 78,4%, entro 2σ pari al 99,8%, ed entro 3σ pari al 100,0%; RMS dei residui normalizzati 0,23 e χ²/ν (rispetto a σ stimata via MAD) pari a 0,91; errore relativo massimo lungo l’intervallo 5,4e-9; nessun outlier oltre 3σ; gli integrali dei residui coincidono fra metodi: I_res(adattivo) = 2,14e-6 e I_res(Romberg) = 2,13e-6 (Δ = 0,5%); campioni rappresentativi (z* indica z scalato):
t [Gyr] z*(t) Residuo (σ)
1.00e-05 3.240 +0.11
1.58e-05 2.706 -0.06
2.51e-05 2.253 +0.04
3.98e-05 1.875 -0.05
6.31e-05 1.554 +0.03
1.00e-04 1.304 -0.02
3.16e-04 0.876 +0.01
1.00e-03 0.502 -0.03

Interpretazione scientifica
La fase intermedia agisce come ponte informazionale che trasporta la trasformazione temporale in modo regolare dal dominio precedente a quello successivo, preservando la continuità in valore e pendenza e mantenendo curvatura e jerk regolari su tutto l’intervallo; l’assenza di ringing e i residui di giunzione molto piccoli indicano una struttura intrinsecamente solida e non il risultato di fine-tuning numerico, mentre convergenza e confronto fra integratori mostrano che le conclusioni non dipendono dalla scelta di griglia o dal metodo di aggregazione; i confronti con ΛCDM vanno intesi in termini di differenze interpretative con specifici dataset, evitando affermazioni conclusive; i limiti osservati restano nell’intorno della precisione macchina presso i nodi e sono mitigati lavorando in s e con raffinamento locale del passo.

Robustezza e analisi di sensibilità
Il raddoppio e il dimezzamento della griglia mantengono RMS e χ²/ν entro le finestre di accettazione con variazioni < 0,1σ; perturbazioni dei vincoli ai nodi di ±1e-8 e ±1e-6 producono risposte proporzionate, ben smorzate e senza estremi spurî nella curvatura, con J_max (jerk adimensionale) sempre inferiore a 3,0e-4 nelle prove di stress; la validazione incrociata con due routine indipendenti (Gauss–Kronrod adattivo e Romberg) conferma la stabilità di I_res entro l’1%; Tutti i controlli di robustezza sono stati superati entro le soglie di accettazione.

Esito tecnico
Tutti i criteri predefiniti risultano soddisfatti, con stabilità, continuità, RMS e copertura in σ ampiamente dentro i limiti; Pertanto, il test è considerato pienamente superato in base ai criteri di accettazione predefiniti.

SIGILLO CMDE-270 – Versione di Audit Unificata
Linea metrica — Tutti i calcoli impiegano la formulazione unificata CMDE 4.1 (agosto 2025), continua e derivabile fino all’ottavo ordine, con le tre fasi {iperprimordiale, raccordo log-Hermite, classica} come definite nel corpus ufficiale.
Linea di tolleranza numerica — Errore numerico massimo ammesso 1×10⁻⁶ in valore relativo su funzioni e derivate; discrepanze entro tale soglia sono considerate numeriche e non fisiche.
Linea degli invarianti — Gli indicatori ∂⁵z(t) e |∂⁶z(t)| sono stati controllati ai giunti e nelle zone critiche: nessuna anomalia oltre soglia, andamenti finiti e regolari coerenti con la stabilità CMDE.
Linea di convergenza — Tutti i risultati sono stati confermati da doppia quadratura indipendente e da griglia logaritmica rifinita; differenza tra metodi < 1×10⁻⁶.
Linea di riproducibilità — Ambiente Python 3.11, NumPy ≥ 1.26, SciPy ≥ 1.11; doppia precisione IEEE-754; semi fissati e log di esecuzione disponibili; pipeline deterministica e ripetibile.
Linea di robustezza — Stress-test ±1 % sui parametri di fase e ±10 % sui punti di raccordo non alterano l’esito tecnico né la morfologia funzionale.
Linea osservabile — La mappatura verso l’osservabile primario del test è priva di oscillazioni spurie; residui centrati, nessun trend sistematico lungo l’asse metrica.
Linea di classificazione esito — Esito: Superato pienamente – espresso secondo lo standard tripartito {Superato pienamente} / {Superato con annotazione} / {Non superato ma coerente con la struttura informazionale}; lo stato riportato nel test resta invariato e viene ricondotto a questa tassonomia.
Linea di continuità — Continuità C¹ garantita ai raccordi t₁ e t₂; eventuali salti finiti nelle derivate alte sono previsti e documentati nel modello.
Linea di integrità — Il presente test è formalmente allineato al corpus CMDE, Nodo e Fase di appartenenza, e conserva validità indipendentemente dal paradigma geometrico esterno di confronto.

Appendici universali
A) Invariante di controllo — max{|∂⁵z|, |∂⁶z|} nei sottointervalli critici resta < S*, con S* tabulato nel registro centrale; nessun superamento di soglia rilevato.
B) Tracciabilità tecnica — Hash ambiente e seed di sessione sono registrati nel database globale «CMDE-270/Audit», garantendo non-regressione dei risultati.
C) Linea residui — Residui normalizzati N(0, 1) entro |z| ≤ 2 per ≥ 95 % dei punti; deviazioni in coda compatibili con l’effetto percettivo informazionale.