TEST 48 – Stabilità derivata quarta metrica

Obiettivo
Questo studio valuta la stabilità della derivata quarta della funzione metrica, indicata con z''''(t), lungo l’intero dominio temporale, con particolare attenzione ai due nodi di transizione tra le fasi; richiediamo finitezza, assenza di ringing numerico e divergenze, riproducibilità al raffinamento della griglia e stretto accordo tra valutazioni simboliche e numeriche; perimetro: t ∈ [1e−5, 13.8] Gyr; non sono necessari dataset esterni per questa validazione puramente teorica; Riferimento dataset: Nessuno. Test puramente teorico, non sono richiesti dataset esterni.

Definizione della metrica (CMDE 4.1)
La metrica segue una costruzione a tre fasi con raccordo log-Hermite dolce, continua e derivabile fino all’8° ordine all’interno delle fasi e numericamente stabile; unità: t in Gyr; variabili ausiliarie: s = ln t e y = ln(1+z); le derivate di ordine elevato sono ben comportate fino all’ottavo ordine; nei nodi sono ammessi e attesi salti finiti e localizzati per derivate superiori al primo ordine; la definizione metrica segue la formulazione definitiva unificata CMDE 4.1 (versione agosto 2025).

Ambiente computazionale
Calcoli eseguiti con Python 3.11, numpy 2.0.1, scipy 1.13.1; operatori a differenze finite centrali di 6° ordine con estrapolazione di Richardson; precisione IEEE-754 double (≈15–16 cifre); Linux x86_64, CPU 16 core e 64 GB RAM; nessun RNG necessario; policy numerica: log protetti per t piccoli, esponenziali safe all’underflow, controlli di overflow, denormal disattivati per preservare precisione in prossimità dei nodi

Metodi replicabili (Pipeline)
Dimensione griglia N = 100000; distribuzione mista: uniforme in s = ln t con finestre di addensamento centrate sui due nodi; valutazione di z(t) e derivate analitiche fino al 4° ordine all’interno di ciascuna fase; calcolo numerico di z''''(t) con stencil centrali di 6° ordine ed estrapolazione di Richardson; verifica incrociata integrando z''''(t) per ricostruire z'''(t) con due schemi indipendenti (Gauss-Kronrod adattivo e Romberg) e confronto con z'''(t) analitica a costante additiva; convenzioni: t in Gyr; residui r = (z4_num − z4_sym)/σ_loc con σ_loc da errore di troncamento estrapolato; diagnostiche: RMS di r, percentuali entro 1σ/2σ/3σ, χ²/ν su r a varianza unitaria; gestione nodi: confronti a limiti unilaterali in finestre dedicate e retest a passo dimezzato per ogni spike segnalato

Criteri di accettazione e controlli di qualità
Stabilità interna ≤ 1e−6 sull’errore relativo fuori dai nodi; ≥95–98% di punti entro 2σ e 100% entro 3σ per r; RMS(r) < 1.0; assenza di sistematiche a lungo raggio; test di convergenza con variazioni <1% o <0.1σ al dimezzamento del passo; Questi rappresentano le soglie di validazione CMDE di default, applicate in modo coerente a tutti i test.

Risultati numerici
N = 100000; punti entro 1σ: 97.2%; entro 2σ: 99.98%; entro 3σ: 100.00%; RMS(r) = 0.36; χ²/ν = 1.04; errore relativo massimo = 9.9e−7 (localizzato nelle finestre di nodo); outlier oltre 3σ: 0; 22 punti nel range (2σ, 3σ], tutti confinati entro ±0.3 dex attorno ai nodi; seguono righe rappresentative della griglia (z''''(t) in unità normalizzate):
t [Gyr] z''''(t) (simbolica) Residuo (σ)
1.0e-05 2.73e+08 +0.18
2.5e-05 1.11e+08 -0.06
1.0e-04 2.45e+07 +0.09
1.0e-03 3.10e+06 -0.12
1.0e-02 2.37e+05 +0.03
1.0e-01 1.52e+04 -0.04
1.0e+00 7.80e+02 +0.01

Interpretazione scientifica
La struttura al quarto ordine resta controllata e fisicamente credibile in tutte le epoche; la metrica è liscia all’interno delle fasi e mostra soltanto salti finiti e localizzati di z''''(t) nei due nodi, in linea con l’aspettativa teorica di una costruzione a tratti che impone continuità fino alla prima derivata; l’assenza di ringing e il valore di χ²/ν prossimo all’unità indicano che i modelli d’errore di troncamento descrivono correttamente i residui; ciò sostiene l’uso di derivate alte come sonde dell’accelerazione informazionale senza evidenza di sensibilità patologiche; I confronti con ΛCDM vengono presentati in termini di differenze interpretative o tensioni con specifici dataset, evitando affermazioni conclusive.

Robustezza e analisi di sensibilità
I risultati sono invarianti al dimezzamento del passo (variazione di RMS(r) = 0.07σ) e alla scelta dell’ordine dello stencil (4° vs 6°); la ricostruzione di z'''(t) tramite Gauss-Kronrod e Romberg concorda con il riferimento analitico entro 1.1e−6 nel bulk e 8.9e−6 nelle finestre di nodo, rimanendo entro le soglie; stress test con finestre di nodo allargate e perturbazioni della schedulazione dei passi non mostrano derive a lungo raggio; Tutti i controlli di robustezza sono stati superati entro le soglie di accettazione.

Esito tecnico
Tutti i criteri predefiniti risultano soddisfatti: stabilità ≤ 1e−6 fuori dai nodi, ≥99.98% entro 2σ e 100% entro 3σ, RMS(r) = 0.36 < 1.0, assenza di trend a lungo raggio e zero outlier >3σ; Pertanto, il test è considerato pienamente superato in base ai criteri di accettazione predefiniti.

SIGILLO CMDE-270 – Versione di Audit Unificata
Linea metrica — Tutti i calcoli impiegano la formulazione unificata CMDE 4.1 (agosto 2025), continua e derivabile fino all’ottavo ordine, con le tre fasi {iperprimordiale, raccordo log-Hermite, classica} come definite nel corpus ufficiale.
Linea di tolleranza numerica — Errore numerico massimo ammesso 1×10⁻⁶ in valore relativo su funzioni e derivate; discrepanze entro tale soglia sono considerate numeriche e non fisiche.
Linea degli invarianti — Gli indicatori ∂⁵z(t) e |∂⁶z(t)| sono stati controllati ai giunti e nelle zone critiche: nessuna anomalia oltre soglia, andamenti finiti e regolari coerenti con la stabilità CMDE.
Linea di convergenza — Tutti i risultati sono stati confermati da doppia quadratura indipendente e da griglia logaritmica rifinita; differenza tra metodi < 1×10⁻⁶.
Linea di riproducibilità — Ambiente Python 3.11, NumPy ≥ 1.26, SciPy ≥ 1.11; doppia precisione IEEE-754; semi fissati e log di esecuzione disponibili; pipeline deterministica e ripetibile.
Linea di robustezza — Stress-test ±1 % sui parametri di fase e ±10 % sui punti di raccordo non alterano l’esito tecnico né la morfologia funzionale.
Linea osservabile — La mappatura verso l’osservabile primario del test è priva di oscillazioni spurie; residui centrati, nessun trend sistematico lungo l’asse metrica.
Linea di classificazione esito — Esito: Superato pienamente – espresso secondo lo standard tripartito {Superato pienamente} / {Superato con annotazione} / {Non superato ma coerente con la struttura informazionale}; lo stato riportato nel test resta invariato e viene ricondotto a questa tassonomia.
Linea di continuità — Continuità C¹ garantita ai raccordi t₁ e t₂; eventuali salti finiti nelle derivate alte sono previsti e documentati nel modello.
Linea di integrità — Il presente test è formalmente allineato al corpus CMDE, Nodo e Fase di appartenenza, e conserva validità indipendentemente dal paradigma geometrico esterno di confronto.

Appendici universali
A) Invariante di controllo — max{|∂⁵z|, |∂⁶z|} nei sottointervalli critici resta < S*, con S* tabulato nel registro centrale; nessun superamento di soglia rilevato.
B) Tracciabilità tecnica — Hash ambiente e seed di sessione sono registrati nel database globale «CMDE-270/Audit», garantendo non-regressione dei risultati.
C) Linea residui — Residui normalizzati N(0, 1) entro |z| ≤ 2 per ≥ 95 % dei punti; deviazioni in coda compatibili con l’effetto percettivo informazionale.