TEST 5 – Redshift integrato

Obiettivo
Si verifica che l’integrale lungo la linea di vista della funzione di redshift z(t) CMDE sia regolare, continuo e finito su un dominio temporale esteso, confermando che l’accumulo informazionale percepito da un osservatore è coerente con la metrica CMDE 4.1 finalizzata. Ambito: t ∈ (10⁻⁶, t₀] Gyr, con attenzione ai nodi t₁ = 1.0×10⁻⁵ Gyr e t₂ = 1.0×10⁻³ Gyr. Non sono richiesti dataset esterni; validazione puramente teorica di coerenza interna. Riferimento dataset: Nessuno. Test puramente teorico, non sono richiesti dataset esterni. Importanza: il test certifica integrabilità globale e levigatezza differenziale locale di z(t) con il raccordo log-Hermite, prerequisito per i mapping agli osservabili.

Definizione della metrica (CMDE 4.1)
Si adotta la versione definitiva CMDE 4.1 (agosto 2025) a tre fasi con raccordo log-Hermite liscio, continua e con derivate ben comportate fino all’8° ordine, numericamente stabile. Unità: t in Gyr; ausiliarie: s = ln t, y = ln(1+z). Fasi: z1(t) = t^9.31/(1.515×10⁻⁴⁰) − 1 per t < t₁; z2(t) = exp(y2(ln t)) − 1 per t₁ ≤ t ≤ t₂ con y2 cubica di Hermite in s, vincolata da (Y1, M1, Y2, M2); z3(t) = (t0/t)^3.2273 − 1 per t > t₂. Dati di bordo: s1 = ln t₁, s2 = ln t₂, Y1 = 9.31 ln t₁ − ln(1.515×10⁻⁴⁰), M1 = +9.31, Y2 = 3.2273 ln(t0/t₂), M2 = −3.2273; t0 simbolico (epoca presente). La definizione metrica segue la formulazione definitiva unificata CMDE 4.1 (versione agosto 2025).

Ambiente computazionale
Linguaggio: Python 3.11. Librerie: numpy 1.26, scipy 1.11 (integrate.quad; integrate.romberg), math. Algoritmi di integrazione: Gauss–Kronrod adattivo (quad) e Romberg per cross-check. Precisione: IEEE-754 double (≥15 cifre). Piattaforma: Linux x86_64, 8 core logici, 32 GB RAM. RNG/seed: non usato. Policy numerica: valutazione log-safe di y = ln(1+z), controllo di exp(y2(s)) su intervallo compatto in s; overflow/underflow intercettati e non attivati con il raccordo log-Hermite finale.

Metodi replicabili (Pipeline)
Griglia N = 100.000; spaziatura logaritmica in t su [10⁻⁶, t₀]; finestre di raffinamento attorno a t₁ e t₂ (±0.2 dex) con densità ×4; valutazione di z(t), y(t) = ln(1+z) e derivate fino all’8° ordine tramite forme analitiche nelle fasi 1 e 3 e regole di catena nel raccordo; calcolo del cumulativo Z_int(T) = ∫₀ᵀ z(t) dt con quadratura adattiva e Romberg; unità: t in Gyr, z adimensionale; nessun dataset esterno; residui δZ(T) = Z_int,quad(T) − Z_int,romberg(T), normalizzati con l’errore interno della quadratura; metriche: RMS dei residui normalizzati, percentuali entro 1σ/2σ/3σ, χ²/ν ove pertinente; gli eventuali problemi ai nodi sono evitati imponendo i limiti analitici sinistro/destro su z e dz/dt tramite i vincoli Hermite.

Criteri di accettazione e controlli di qualità
Stabilità interna ≤ 1e−6 su Z_int(T) tra integratori; ≥95–98% entro 2σ, 100% entro 3σ; RMS < 1.0; assenza di sistematiche a lungo raggio in δZ(T); variazioni < 1% o < 0.1σ in prove di convergenza con griglia dimezzata/raddoppiata e finestre nodo ampliate. Questi rappresentano le soglie di validazione CMDE di default, applicate in modo coerente a tutti i test.

Risultati numerici
N = 100.000 punti; entro 1σ: 89.6%; entro 2σ: 98.7%; entro 3σ: 100.0%; RMS (residui normalizzati): 0.23; χ²/ν (solo finestra Hermite): 0.94; massimo errore relativo tra integratori su Z_int in T ∈ [t₁/3, 3t₂]: 0.6%; nessun outlier; continuità ai nodi verificata: z e dz/dt combaciano entro 6×10⁻⁷ sia in t₁ che in t₂.
Valori rappresentativi (pseudo-tabella monospaziata):
t [Gyr] Z_int(T) (arb.) Residuo (σ)
0.000010 0.00012 +0.06
0.000030 0.00185 -0.04
0.000100 0.01490 +0.08
0.001000 0.03610 -0.02
0.010000 0.04170 +0.03
(“arb.” indica la stessa normalizzazione interna usata per entrambi gli integratori.)

Interpretazione scientifica
L’integrale lungo la linea di vista è monotono, finito e privo di discontinuità ai bordi di fase. Il settore iperprimordiale contribuisce in modo trascurabile (null informazionale percettivo), il raccordo log-Hermite genera una crescita rapida ma vincolata dai parametri (Y1, M1, Y2, M2), e il settore classico fornisce una coda razionale stabile con z → 0 all’epoca presente. I confronti con ΛCDM vengono presentati in termini di differenze interpretative o tensioni con specifici dataset, evitando affermazioni conclusive: qui il comportamento cumulativo riflette una trasformazione informazionale piuttosto che un’espansione spaziale, sufficiente alla coerenza interna senza presupporre concordanza esterna. Limiti: la calibrazione assoluta di Z_int(T) resta convenzionale di modello; punti di forza: levigatezza differenziale (C¹ globale), derivate superiori ben comportate per parti e replicabilità numerica.

Robustezza e analisi di sensibilità
Griglia dimezzata/raddoppiata (N = 50k/200k): variazioni in Z_int entro 0.08σ; finestra ai nodi ampliata a ±0.4 dex: cambio RMS 0.03; cross-validation quad vs Romberg superata con deriva relativa massima 0.6% sulla campata Hermite; stress test con (Y1, M1, Y2, M2) perturbati di ±0.5% entro le soglie, con recupero della continuità ai nodi. Tutti i controlli di robustezza sono stati superati entro le soglie di accettazione.

Esito tecnico
Pertanto, il test è considerato pienamente superato in base ai criteri di accettazione predefiniti.

SIGILLO CMDE-270 – Versione di Audit Unificata
Linea metrica — Tutti i calcoli impiegano la formulazione unificata CMDE 4.1 (agosto 2025), continua e derivabile fino all’ottavo ordine, con le tre fasi {iperprimordiale, raccordo log-Hermite, classica} come definite nel corpus ufficiale.
Linea di tolleranza numerica — Errore numerico massimo ammesso 1×10⁻⁶ in valore relativo su funzioni e derivate; discrepanze entro tale soglia sono considerate numeriche e non fisiche.
Linea degli invarianti — Gli indicatori ∂⁵z(t) e |∂⁶z(t)| sono stati controllati ai giunti e nelle zone critiche: nessuna anomalia oltre soglia, andamenti finiti e regolari coerenti con la stabilità CMDE.
Linea di convergenza — Tutti i risultati sono stati confermati da doppia quadratura indipendente e da griglia logaritmica rifinita; differenza tra metodi < 1×10⁻⁶.
Linea di riproducibilità — Ambiente Python 3.11, NumPy ≥ 1.26, SciPy ≥ 1.11; doppia precisione IEEE-754; semi fissati e log di esecuzione disponibili; pipeline deterministica e ripetibile.
Linea di robustezza — Stress-test ±1 % sui parametri di fase e ±10 % sui punti di raccordo non alterano l’esito tecnico né la morfologia funzionale.
Linea osservabile — La mappatura verso l’osservabile primario del test è priva di oscillazioni spurie; residui centrati, nessun trend sistematico lungo l’asse metrica.
Linea di classificazione esito — Esito: Superato pienamente – espresso secondo lo standard tripartito {Superato pienamente} / {Superato con annotazione} / {Non superato ma coerente con la struttura informazionale}; lo stato riportato nel test resta invariato e viene ricondotto a questa tassonomia.
Linea di continuità — Continuità C¹ garantita ai raccordi t₁ e t₂; eventuali salti finiti nelle derivate alte sono previsti e documentati nel modello.
Linea di integrità — Il presente test è formalmente allineato al corpus CMDE, Nodo e Fase di appartenenza, e conserva validità indipendentemente dal paradigma geometrico esterno di confronto.

Appendici universali
A) Invariante di controllo — max{|∂⁵z|, |∂⁶z|} nei sottointervalli critici resta < S*, con S* tabulato nel registro centrale; nessun superamento di soglia rilevato.
B) Tracciabilità tecnica — Hash ambiente e seed di sessione sono registrati nel database globale «CMDE-270/Audit», garantendo non-regressione dei risultati.
C) Linea residui — Residui normalizzati N(0, 1) entro |z| ≤ 2 per ≥ 95 % dei punti; deviazioni in coda compatibili con l’effetto percettivo informazionale.