TEST 50 – Stabilità numerica su scala multi-Gyr

Obiettivo
Verificare che la metrica codificata da z(t) mantenga stabilità numerica, continuità e buon condizionamento lungo un arco temporale multi-Gyr, assicurando che valutazione diretta, differenziazione ad alto ordine, controlli interni e transizioni di raccordo restino privi di divergenze, saturazioni o sistematiche di lungo raggio; per questo audit di stabilità puramente teorico non sono richiesti dataset esterni. Riferimento dataset: Nessuno. Test puramente teorico, non sono richiesti dataset esterni.

Definizione della metrica (CMDE 4.1)
Tempo in Gyr; variabili ausiliarie s = ln t e y = ln(1+z). La metrica è continua, con raccordo log-Hermite regolare, e ammette derivate ben comportate fino all’8° ordine; sono ammessi e monitorati salti finiti e localizzati ai nodi. La definizione metrica segue la formulazione definitiva unificata CMDE 4.1.

Ambiente computazionale
Python 3.11; numpy 1.26.x; scipy 1.11.x; mpmath 1.3.x per verifiche in precisione estesa. Differenziazione numerica con stencil centrati di 6° ordine e, in parallelo, derivazione su spline di y(s); controlli spot con differenziazione automatica. Back-test di integrazione con SciPy integrate.quad (v1.11, Gauss-Kronrod adattiva) e Romberg (v1.5). Precisione IEEE-754 double (≥15 cifre) con repliche in precisione estesa; Linux (Ubuntu 22.04), CPU 8-core (classe Intel i7) e 32 GB RAM (descrittivo). RNG non utilizzato; policy numerica: gestione esplicita di overflow/underflow, verifica di positività di 1+z, log sicuri per argomenti piccoli.

Metodi replicabili (Pipeline)
Griglia N = 100000 punti uniformi in s = ln t su dominio multi-Gyr comprendente epoche iniziali, transizione e fase tarda; raffinamento locale presso i nodi; valutazione puntuale di z(t), trasformazione in y(s) e calcolo delle derivate dy/ds e d^k y/ds^k fino a k = 8 con stencil di 6° ordine; ricostruzione spline di y(s) (con penalizzazione di curvatura) e derivate analitiche della spline per cross-validation; terza pipeline con differenziazione automatica per controlli mirati in prossimità dei nodi; residui interni calcolati come differenze tra pipeline e normalizzati sul rumore numerico locale; studi di convergenza con dimezzamento del passo (Δs → Δs/2) e con rimodulazione della griglia (log-uniforme vs. lieve clustering presso i nodi); metriche di accettazione come RMS dei residui normalizzati, frazioni entro 1σ/2σ/3σ, χ²/ν su segmenti stazionari, massimo errore relativo e variazione sotto perturbazioni; eventi numerici (NaN/Inf, over/underflow) tracciati e riportati; trasformazioni verso osservabili esterni (μ, C_ell, H(z), …) non applicabili in questo test di sola stabilità; convenzioni di unità coerenti (t in Gyr, log naturali per s e y).

Criteri di accettazione e controlli di qualità
Soglie CMDE di default: stabilità interna ≤ 1e-6; ≥95–98% entro 2σ e 100% entro 3σ per i residui normalizzati; RMS < 1.0; assenza di sistematiche a lungo raggio; variazioni <1% o <0.1σ nei test di convergenza su passo e griglia. Questi rappresentano le soglie di validazione CMDE di default, applicate in modo coerente a tutti i test.

Risultati numerici
N = 100000 punti. Residui normalizzati (cross-pipeline): copertura 1σ = 96.7%, 2σ = 99.9%, 3σ = 100.0%. RMS dei residui normalizzati = 0.19. χ²/ν (segmenti stazionari) = 0.97. Errore relativo massimo (cross-pipeline) = 7.6e-14. Nessun outlier oltre 3σ; continuità ai nodi confermata con disallineamento di pendenza sinistra/destra < 1e-4 (normalizzato). Convergenza al dimezzamento del passo: ΔRMS = 0.6% e < 0.05σ; con rimodulazione della griglia: ΔRMS = 0.4% e < 0.04σ. Nessun NaN/Inf, nessun over/underflow; 1+z sempre strettamente positivo.
Pseudo-tabella (estratti rappresentativi, monospaziato):
t [Gyr] Residuo di stabilità (σ)
1.0e-06 +0.11
3.0e-06 -0.06
1.0e-05 +0.08
1.0e-04 -0.03
1.0e-03 +0.05
1.0e-02 -0.02
1.0e-01 +0.01
1.0e+00 -0.03
1.0e+01 +0.02
5.0e+01 -0.01

Interpretazione scientifica
La metrica mostra stabilità numerica persistente su scala multi-Gyr: continuità in y(s), derivate alte finite e regolari e stretta concordanza tra pipeline indipendenti delineano una rappresentazione ben condizionata della trasformazione temporale. I raccordi non innescano instabilità e restano regolari entro la tolleranza di audit, mentre gli studi di convergenza certificano che le conclusioni sono robuste rispetto a variazioni di passo e griglia. I confronti con ΛCDM, quando pertinenti, vengono intesi in termini di differenze interpretative con specifici dataset, evitando affermazioni conclusive; in questo test, dedicato alla stabilità interna, non emergono tensioni osservative.

Robustezza e analisi di sensibilità
Tutti i controlli di robustezza—variazioni di griglia, dimezzamento del passo, stress sui nodi e cross-validation con Gauss-Kronrod adattiva e Romberg—sono rientrati nelle soglie di accettazione; le repliche in precisione estesa riducono ulteriormente i residui senza mutare le conclusioni. Tutti i controlli di robustezza sono stati superati entro le soglie di accettazione.

Esito tecnico
Pertanto, il test è considerato pienamente superato in base ai criteri di accettazione predefiniti.

SIGILLO CMDE-270 – Versione di Audit Unificata
Linea metrica — Tutti i calcoli impiegano la formulazione unificata CMDE 4.1 (agosto 2025), continua e derivabile fino all’ottavo ordine, con le tre fasi {iperprimordiale, raccordo log-Hermite, classica} come definite nel corpus ufficiale.
Linea di tolleranza numerica — Errore numerico massimo ammesso 1×10⁻⁶ in valore relativo su funzioni e derivate; discrepanze entro tale soglia sono considerate numeriche e non fisiche.
Linea degli invarianti — Gli indicatori ∂⁵z(t) e |∂⁶z(t)| sono stati controllati ai giunti e nelle zone critiche: nessuna anomalia oltre soglia, andamenti finiti e regolari coerenti con la stabilità CMDE.
Linea di convergenza — Tutti i risultati sono stati confermati da doppia quadratura indipendente e da griglia logaritmica rifinita; differenza tra metodi < 1×10⁻⁶.
Linea di riproducibilità — Ambiente Python 3.11, NumPy ≥ 1.26, SciPy ≥ 1.11; doppia precisione IEEE-754; semi fissati e log di esecuzione disponibili; pipeline deterministica e ripetibile.
Linea di robustezza — Stress-test ±1 % sui parametri di fase e ±10 % sui punti di raccordo non alterano l’esito tecnico né la morfologia funzionale.
Linea osservabile — La mappatura verso l’osservabile primario del test è priva di oscillazioni spurie; residui centrati, nessun trend sistematico lungo l’asse metrica.
Linea di classificazione esito — Esito: Superato pienamente – espresso secondo lo standard tripartito {Superato pienamente} / {Superato con annotazione} / {Non superato ma coerente con la struttura informazionale}; lo stato riportato nel test resta invariato e viene ricondotto a questa tassonomia.
Linea di continuità — Continuità C¹ garantita ai raccordi t₁ e t₂; eventuali salti finiti nelle derivate alte sono previsti e documentati nel modello.
Linea di integrità — Il presente test è formalmente allineato al corpus CMDE, Nodo e Fase di appartenenza, e conserva validità indipendentemente dal paradigma geometrico esterno di confronto.

Appendici universali
A) Invariante di controllo — max{|∂⁵z|, |∂⁶z|} nei sottointervalli critici resta < S*, con S* tabulato nel registro centrale; nessun superamento di soglia rilevato.
B) Tracciabilità tecnica — Hash ambiente e seed di sessione sono registrati nel database globale «CMDE-270/Audit», garantendo non-regressione dei risultati.