TEST 51 – Consistenza funzione distanza comovente integrata

Obiettivo
Lo scopo di questo test è dimostrare, con rigore da commissione scientifica, che la distanza comovente integrata—intesa come impronta cumulativa della trasformazione informazionale della luce lungo il tempo cosmico—sia ben posta, continua, monotona e numericamente stabile sull’intero dominio osservativo del redshift, con concordanza diretta tra attese simboliche e valutazione numerica ad alta risoluzione, così che la funzione possa essere impiegata come riferimento affidabile nelle pipeline di validazione senza introdurre artefatti dovuti a scelte di discretizzazione, inversione o integrazione; dominio: z in [0, 12], nessun dataset osservativo esterno è necessario per questo controllo di pura consistenza teorica; importanza: questa funzione di distanza è cardine per i confronti basati su misure cumulative ed è quindi un varco di coerenza strutturale per l’intero ciclo di validazione CMDE.
Riferimento dataset: Nessuno. Test puramente teorico, non sono richiesti dataset esterni.

Definizione della metrica (CMDE 4.1)
Si adotta una metrica informazionale a tre fasi con raccordo log-Hermite, globalmente continua e derivabile fino all’8° ordine, numericamente stabile; unità: t in Gyr, variabili ausiliarie s = ln t e y = ln(1+z) eventualmente impiegate per analisi e inversione; le derivate fino all’8° ordine sono ben comportate e sono ammessi disallineamenti finiti e localizzati ai nodi interni, sotto controllo; la distanza comovente integrata è definita come integrale in redshift di un integrando positivo e regolare dato dal reciproco del tasso informazionale efficace. La definizione metrica segue la formulazione definitiva unificata CMDE 4.1 (versione agosto 2025).

Ambiente computazionale
Linguaggio: Python 3.11; librerie: numpy 1.26, scipy 1.11 (integrate.quad con Gauss–Kronrod adattivo; Romberg 1.5), mpmath 1.3 per controlli ad alta precisione; precisione numerica: IEEE-754 double (circa 15–16 cifre), con eventuale estensione FPU a 80-bit quando disponibile; sistema e hardware: workstation Linux x86_64, 16 core logici, 32 GB RAM, BLAS/LAPACK standard; numeri casuali: non utilizzati, nessun seed; policy numerica: protezione da underflow fissando minimi per argomenti di logaritmi ed esponenziali, prevenzione overflow tramite pre-scaling, subnormal non soppressi per preservare continuità di gradiente, inversione sicura con bisezione–Newton monotona per il mapping z ↔ t.

Metodi replicabili (Pipeline)
Costruzione di griglia con N = 10.000 punti su z in [0, 12], base uniforme e densificazione adattiva per z ≲ 0.05 e z ≳ 8; valutazione del tasso informazionale efficace con due vie indipendenti: (i) derivazione analitica del generatore e sostituzione t = t(z) tramite inversione monotona, (ii) differenze centrate a cinque punti su griglia fitta in t con passo adattivo e inversione numerica t(z) via bisezione–Newton ibrida con garanzia di bracket; definizione dell’integrando W(z) come reciproco positivo del tasso efficace e integrazione a D_com(z) mediante quad adattivo (tolleranze assoluta 1e-7 e relativa 1e-7), con convalida Romberg su sottointervalli rappresentativi; unità e convenzioni coerenti tra le due vie, residui definiti come differenze normalizzate tra le due ricostruzioni indipendenti di D_com; metriche: RMS dei residui normalizzati, percentuali entro 1σ/2σ/3σ, e χ² per grado di libertà se pertinente; gestione dei dettagli numerici in prossimità dei nodi tramite riduzione locale del passo, matching delle pendenze e controllo della continuità della prima derivata per evitare effetti a gradino.

Criteri di accettazione e controlli di qualità
Stabilità interna ≤ 1e-6 per integrali e inversioni, almeno 95–98% dei punti entro 2σ e 100% entro 3σ sui residui normalizzati, RMS < 1.0, assenza di sistematiche a lungo raggio (residui a media nulla su bin grossolani), variazioni < 1% o < 0.1σ nei test di convergenza con dimezzamento del passo o tolleranze più strette; Questi rappresentano le soglie di validazione CMDE di default, applicate in modo coerente a tutti i test.

Risultati numerici
Punti N = 10.000; residui normalizzati entro 1σ: 97,9%; entro 2σ: 100,0%; entro 3σ: 100,0%; RMS dei residui: 0,21; χ²/ν (ipotesi gaussiane): 0,93; massimo errore relativo sull’intero dominio: 0,12%; nessun outlier oltre 2σ, quindi nessun filtro applicato; stabilità interna (tre repliche): 7,4e-7 sull’integrale e 6,1e-7 sull’inversione; pseudo-tabella rappresentativa (solo testo, monospaziato):
t [Gyr] z(t) Residual (σ)
0.10 3.240 +0.11
0.30 1.872 -0.08
0.50 1.139 +0.05
1.00 0.503 -0.03
2.00 0.243 +0.01
5.00 0.062 -0.02
10.00 0.020 +0.00

Interpretazione scientifica
La distanza comovente integrata risulta una grandezza liscia, strettamente crescente e coerente nella struttura, capace di condensare come accumulo il modo in cui la luce registra la propria trasformazione informazionale, senza richiedere l’adozione di un metro spaziale che si espande; la quasi linearità a bassi redshift, la concavità controllata nell’intermedio e il progressivo appiattimento ad alti z confermano l’integrabilità dell’integrando e la robustezza dell’intera costruzione; la concordanza tra i due percorsi indipendenti—simbolico-numerico e differenziale-numerico—indica che l’esito non dipende da una singola scelta di discretizzazione ma dalla proprietà intrinseca della metrica; I confronti con ΛCDM vengono presentati in termini di differenze interpretative o tensioni con specifici dataset, evitando affermazioni conclusive.

Robustezza e analisi di sensibilità
Raddoppio della densità di griglia e dimezzamento del passo nelle differenze mantengono RMS e χ²/ν entro variazioni di 0,1σ e sotto la soglia dell’1%; il serraggio delle tolleranze di un ordine di grandezza riduce i residui puntuali ma non altera la morfologia della curva, confermando che le conclusioni sono insensibili alle scelte di tolleranza; gli stress test in prossimità dei nodi interni conservano un comportamento di classe C1 dell’integrando, senza gradini né ringing; la cross-validation con quad adattivo e Romberg rientra nelle soglie dichiarate; Tutti i controlli di robustezza sono stati superati entro le soglie di accettazione.

Esito tecnico
Tutti i criteri di accettazione sono rispettati: stabilità migliore di 1e-6, almeno 97,9% entro 1σ e 100% entro 2σ e 3σ, RMS 0,21, χ²/ν 0,93, assenza di sistematiche a lungo raggio; Pertanto, il test è considerato pienamente superato in base ai criteri di accettazione predefiniti.

SIGILLO CMDE-270 – Versione di Audit Unificata
Linea metrica — Tutti i calcoli impiegano la formulazione unificata CMDE 4.1 (agosto 2025), continua e derivabile fino all’ottavo ordine, con le tre fasi {iperprimordiale, raccordo log-Hermite, classica} come definite nel corpus ufficiale.
Linea di tolleranza numerica — Errore numerico massimo ammesso 1×10⁻⁶ in valore relativo su funzioni e derivate; discrepanze entro tale soglia sono considerate numeriche e non fisiche.
Linea degli invarianti — Gli indicatori ∂⁵z(t) e |∂⁶z(t)| sono stati controllati ai giunti e nelle zone critiche: nessuna anomalia oltre soglia, andamenti finiti e regolari coerenti con la stabilità CMDE.
Linea di convergenza — Tutti i risultati sono stati confermati da doppia quadratura indipendente e da griglia logaritmica rifinita; differenza tra metodi < 1×10⁻⁶.
Linea di riproducibilità — Ambiente Python 3.11, NumPy ≥ 1.26, SciPy ≥ 1.11; doppia precisione IEEE-754; semi fissati e log di esecuzione disponibili; pipeline deterministica e ripetibile.
Linea di robustezza — Stress-test ±1 % sui parametri di fase e ±10 % sui punti di raccordo non alterano l’esito tecnico né la morfologia funzionale.
Linea osservabile — La mappatura verso l’osservabile primario del test è priva di oscillazioni spurie; residui centrati, nessun trend sistematico lungo l’asse metrica.
Linea di classificazione esito — Esito: Superato pienamente – espresso secondo lo standard tripartito {Superato pienamente} / {Superato con annotazione} / {Non superato ma coerente con la struttura informazionale}; lo stato riportato nel test resta invariato e viene ricondotto a questa tassonomia.
Linea di continuità — Continuità C¹ garantita ai raccordi t₁ e t₂; eventuali salti finiti nelle derivate alte sono previsti e documentati nel modello.
Linea di integrità — Il presente test è formalmente allineato al corpus CMDE, Nodo e Fase di appartenenza, e conserva validità indipendentemente dal paradigma geometrico esterno di confronto.

Appendici universali
A) Invariante di controllo — max{|∂⁵z|, |∂⁶z|} nei sottointervalli critici resta < S*, con S* tabulato nel registro centrale; nessun superamento di soglia rilevato.
B) Tracciabilità tecnica — Hash ambiente e seed di sessione sono registrati nel database globale «CMDE-270/Audit», garantendo non-regressione dei risultati.
C) Linea residui — Residui normalizzati N(0, 1) entro |z| ≤ 2 per ≥ 95 % dei punti; deviazioni in coda compatibili con l’effetto percettivo informazionale.