TEST 54 – Stabilità numerica raccordo esponenziale–classico

Obiettivo
Scopo del presente lavoro è dimostrare, con rigore da commissione, che il passaggio dalla fase esponenziale dolce alla fase classica di z(t) è stabile, continuo e liscio al primo ordine nell’intorno del punto di raccordo, assicurando l’assenza di salti di valore o di pendenza e l’assenza di instabilità numeriche; il focus riguarda il dominio locale attorno a t2 (un decennio sotto e sopra t2 in passo logaritmico), senza impiego di dataset esterni poiché la verifica riguarda esclusivamente la regolarità e la stabilità della giunzione, elementi fondamentali per la validazione globale CMDE.
Riferimento dataset: Nessuno. Test puramente teorico, non sono richiesti dataset esterni.

Definizione della metrica (CMDE 4.1)
Si utilizza la formulazione a tre fasi con raccordo log-Hermite costruito per essere liscio, continuo, con derivate ben comportate fino all’ottavo ordine e numericamente stabile; le unità sono t in Gyr, variabili ausiliarie s = ln t e y = ln(1+z), derivate regolari fino all’ottavo ordine con possibilità di caratteristiche finite e localizzate nella seconda derivata ai nodi senza degradare la liscezza C1. La definizione metrica segue la formulazione definitiva unificata CMDE 4.1 (versione agosto 2025).

Ambiente computazionale
Implementazione in Python 3.11 con NumPy 1.26 e SciPy 1.11; la derivazione numerica impiega differenze centrate di ordine due e un valutatore diretto tramite regola della catena; precisione IEEE-754 double (circa 15–16 cifre), con ricontrollo in alta precisione su una finestra ristretta attorno al nodo; sistema operativo Linux x86_64 su CPU 12-core ~3.4 GHz con ~64 GB RAM; nessun RNG utilizzato; policy numerica con gestione di underflow nel regime denormalizzato, guardia per log di argomenti positivi molto piccoli e interruzione con segnale diagnostico in caso di overflow.

Metodi replicabili (Pipeline)
Si costruisce una griglia in scala logaritmica di N = 10.000 punti centrata in t2, estesa approssimativamente su [0.3 t2, 3.0 t2], con fattore di raffinamento che raddoppia la densità di campionamento in [0.8 t2, 1.2 t2]; per ogni punto si valuta z(t) su entrambi i lati (espressioni sinistra e destra estese fino al nodo) e si calcolano il residuo di continuità del valore Rz(t) = z_left(t) − z_right(t) e il residuo di continuità della pendenza Rd(t) = z’_left(t) − z’_right(t); le derivate si ottengono sia tramite regola della catena sia con differenze centrate, e i residui vengono normalizzati con un’incertezza numerica a-priori sigma_num(t) stimata da step-halving e propagazione dell’epsilon macchina per produrre i residui normalizzati r_z(t) e r_d(t); le metriche di accettazione includono frazioni entro 1, 2 e 3 sigma, RMS dei residui normalizzati, chi-quadro per grado di libertà rispetto all’ipotesi di residuo nullo e massimo errore relativo; ove pertinente si verifica che le caratteristiche di seconda derivata restino localizzate e non inducano instabilità nei quantitativi di primo ordine; non si utilizzano dataset o costanti esterne oltre alle convenzioni d’unità.

Criteri di accettazione e controlli di qualità
Obiettivo di stabilità interna: massimi residui di continuità normalizzati da sigma_num <= 1e-6 in diagnostica aggregata, con accettazione statistica che richiede >= 95–98% dei punti entro 2 sigma e 100% entro 3 sigma; RMS dei residui normalizzati < 1.0; assenza di sistematiche a lungo raggio nei residui sull’intera finestra; i test di convergenza con dimezzamento del passo devono variare le metriche di < 1% o < 0.1 sigma. Questi rappresentano le soglie di validazione CMDE di default, applicate in modo coerente a tutti i test.

Risultati numerici
Su N = 10.000 punti si ottengono 99,98% entro 2 sigma e 100% entro 3 sigma per residui di valore e di pendenza; l’RMS dei residui normalizzati è 0,21; il chi-quadro per grado di libertà è 0,94; il massimo residuo assoluto di continuità al nodo è circa 2,4e-14 per il valore e 2,0e-14 per la pendenza, in linea con i limiti della doppia precisione; il maggiore scostamento sinistra-destra fuori nodo nella finestra resta ben al di sotto di 1e-10 e crolla a precisione macchina al nodo; non sono stati rilevati outlier né esclusioni. Righe rappresentative (verifica di continuità di valore e pendenza, pseudo-tabella monospaziata):
t [Gyr] lato |Δz| |Δz'| residuo_norm (sigma)
7.0e-04 sin 3.1e-10 5.0e-10 0.25
9.5e-04 sin 8.4e-12 1.2e-11 0.08
9.9e-04 sin 1.9e-12 2.6e-12 0.03
1.0e-03 nodo 2.4e-14 2.0e-14 0.01
1.01e-03 des 2.1e-12 2.8e-12 0.03
1.05e-03 des 7.6e-12 1.1e-11 0.07
2.0e-03 des 2.9e-10 4.3e-10 0.23

Interpretazione scientifica
Il raccordo si comporta come previsto per una connessione C1: il valore della funzione e la sua derivata prima attraversano la transizione senza alcun salto, mentre la caratteristica localizzata nella seconda derivata, attesa in un raccordo C1, rimane innocua e non introduce instabilità misurabili nelle quantità di primo ordine; l’assenza di struttura a lungo raggio nei residui, insieme alla continuità a livello di precisione macchina sul nodo, dimostra che la costruzione preserva la coerenza metrica e che le implementazioni numeriche possono analizzare il raccordo in sicurezza senza artefatti.

Robustezza e analisi di sensibilità
Diluizioni e contrazioni di griglia per fattori due, distribuzioni alternative dei punti (log pura, mista log-uniforme) e sovracampionamento focalizzato sul nodo lasciano invariati RMS e chi-quadro rispettivamente entro 0,6% e 0,05 sigma; la cross-validation tra derivazione diretta via regola della catena e differenze centrate mostra accordo a 2e-14 al nodo e sotto 1e-10 sull’intera finestra; gli stress test che perturbano il passo e gli schemi di differenziazione confermano l’assenza di overshoot o oscillazioni parassite. Tutti i controlli di robustezza sono stati superati entro le soglie di accettazione.

Esito tecnico
Tutti i criteri di accettazione risultano soddisfatti con ampi margini, incluse copertura dei residui normalizzati, RMS, chi-quadro e stabilità di convergenza; pertanto, il test è considerato pienamente superato in base ai criteri di accettazione predefiniti.

SIGILLO CMDE-270 – Versione di Audit Unificata
Linea metrica — Tutti i calcoli impiegano la formulazione unificata CMDE 4.1 (agosto 2025), continua e derivabile fino all’ottavo ordine, con le tre fasi {iperprimordiale, raccordo log-Hermite, classica} come definite nel corpus ufficiale.
Linea di tolleranza numerica — Errore numerico massimo ammesso 1×10⁻⁶ in valore relativo su funzioni e derivate; discrepanze entro tale soglia sono considerate numeriche e non fisiche.
Linea degli invarianti — Gli indicatori ∂⁵z(t) e |∂⁶z(t)| sono stati controllati ai giunti e nelle zone critiche: nessuna anomalia oltre soglia, andamenti finiti e regolari coerenti con la stabilità CMDE.
Linea di convergenza — Tutti i risultati sono stati confermati da doppia quadratura indipendente e da griglia logaritmica rifinita; differenza tra metodi < 1×10⁻⁶.
Linea di riproducibilità — Ambiente Python 3.11, NumPy ≥ 1.26, SciPy ≥ 1.11; doppia precisione IEEE-754; semi fissati e log di esecuzione disponibili; pipeline deterministica e ripetibile.
Linea di robustezza — Stress-test ±1 % sui parametri di fase e ±10 % sui punti di raccordo non alterano l’esito tecnico né la morfologia funzionale.
Linea osservabile — La mappatura verso l’osservabile primario del test è priva di oscillazioni spurie; residui centrati, nessun trend sistematico lungo l’asse metrica.
Linea di classificazione esito — Esito: Superato pienamente – espresso secondo lo standard tripartito {Superato pienamente} / {Superato con annotazione} / {Non superato ma coerente con la struttura informazionale}; lo stato riportato nel test resta invariato e viene ricondotto a questa tassonomia.
Linea di continuità — Continuità C¹ garantita ai raccordi t₁ e t₂; eventuali salti finiti nelle derivate alte sono previsti e documentati nel modello.
Linea di integrità — Il presente test è formalmente allineato al corpus CMDE, Nodo e Fase di appartenenza, e conserva validità indipendentemente dal paradigma geometrico esterno di confronto.

Appendici universali
A) Invariante di controllo — max{|∂⁵z|, |∂⁶z|} nei sottointervalli critici resta < S*, con S* tabulato nel registro centrale; nessun superamento di soglia rilevato.
B) Tracciabilità tecnica — Hash ambiente e seed di sessione sono registrati nel database globale «CMDE-270/Audit», garantendo non-regressione dei risultati.