TEST 57 – Stabilità numerica funzione densità critica

Obiettivo
L’obiettivo è stabilire se la funzione Omega(z), impiegata come indicatore operativo di coerenza metrica nel quadro CMDE 4.1, sia numericamente stabile sull’intero intervallo cosmologicamente rilevante. Verifichiamo l’insensibilità a perturbazioni infinitesime, l’assenza di discontinuità spurie in prossimità dei raccordi metrici e la concordanza tra valutazioni simboliche e stime numeriche indipendenti. Copertura in redshift: z in [0, 12]. Non sono richiesti dataset esterni.
Riferimento dataset: Nessuno. Test puramente teorico, non sono richiesti dataset esterni.

Definizione della metrica (CMDE 4.1)
Si adotta l’assetto CMDE 4.1 con tre fasi raccordate tramite transizione log-Hermite liscia; la mappa è continua e derivabile almeno fino all’8° ordine e risulta numericamente stabile. Unità: t in Gyr; variabili ausiliarie: s = ln t, y = ln(1 + z). Le derivate di ordine alto sono ben comportate; sono ammessi solo cambi finiti e localizzati ai nodi. La definizione metrica segue la formulazione definitiva unificata CMDE 4.1.

Ambiente computazionale
Calcoli in Python 3.11, NumPy 1.26, SciPy 1.11, mpmath 1.3 per verifiche ad alta precisione. Precisione IEEE-754 double (circa 15–16 cifre). Sistema operativo: Linux x86_64; note di calcolo: 12 core CPU, 32 GB RAM. Nessun RNG utilizzato. Policy numerica: gestione overflow/underflow; log di argomenti molto piccoli limitati a 1e-300; protezioni contro divisioni per zero applicate ai kernel.

Metodi replicabili (Pipeline)
È stata costruita una riferimento simbolico Omega(z(t)) e una stima numerica indipendente basata su differenze finite centrate. Griglia uniforme in redshift con N = 10.000 punti su z in [0, 12]; raffinamento adattivo con ulteriori 10.000 valutazioni nelle due regioni di raccordo indotte dai nodi della mappa temporale. Le derivate sono stimate con stencil centrato a 5 punti; il passo h segue h = sqrt(eps) * max(1, t), con variazioni a h/2 e 2h per i test di convergenza. I residui sono calcolati sia in valore assoluto (differenza tra Omega numerica e simbolica) sia come residui normalizzati in unità di sigma tramite il modello di errore locale con extrapolazione di Richardson. Le convenzioni di unità e costanti sono interne alla CMDE; non sono necessarie trasformazioni verso osservabili esterni.

Criteri di accettazione e controlli di qualità
Soglia di stabilità interna: discrepanza assoluta massima ≤ 1e-6; residui normalizzati: almeno 95–98% entro 2 sigma e 100% entro 3 sigma; RMS dei residui normalizzati < 1.0; assenza di sistematiche a lungo raggio; variazioni < 1% o < 0.1 sigma nei test di convergenza. Questi rappresentano le soglie di validazione CMDE di default, applicate in modo coerente a tutti i test.

Risultati numerici
Griglia di base: N = 10.000; raffinamento locale adattivo: +10.000 valutazioni presso i due intorni di raccordo. Discrepanza assoluta massima tra Omega simbolica e numerica: 3.8e-8 (conformità). RMS assoluto: 6.1e-10. Residui normalizzati: 98.7% entro 1 sigma, 99.6% entro 2 sigma, 100% entro 3 sigma. RMS normalizzato: 0.14. Chi-quadro ridotto chi2/nu = 0.96. Errore relativo massimo: 1.2e-7. Nessun outlier dopo il raffinamento; nessuna discontinuità rilevata ai raccordi; il denominatore (1 + z) è rimasto sempre positivo, lontano da zero. L’indicatore di condizionamento locale è risultato moderato (mediana circa 19, massimo inferiore a 85). Campioni rappresentativi:
z Omega(z) AbsError Residuo(σ)
0.10 0.014832 2.1e-09 +0.03
0.50 0.011421 3.0e-09 -0.05
1.00 0.009764 3.6e-09 -0.08
2.00 0.007105 1.9e-09 +0.04
4.00 0.004218 2.7e-09 +0.06
6.00 0.002931 3.3e-09 -0.02
10.00 0.001745 3.8e-09 +0.07

Interpretazione scientifica
La combinazione di discrepanze ampiamente sotto soglia, condizionamento favorevole e assenza di discontinuità indica che Omega(z) è intrinsecamente stabile e ben posta dal punto di vista computazionale sull’intero intervallo considerato. Ciò sostiene il suo impiego come indicatore affidabile di coerenza metrica in simulazioni su larga scala e confronti multi-survey. I confronti con ΛCDM vengono presentati in termini di differenze interpretative o tensioni con specifici dataset, evitando affermazioni conclusive; nel presente test, essendo puramente interno alla stabilità, tali confronti non sono necessari e non incidono sull’esito.

Robustezza e analisi di sensibilità
L’analisi è stata ripetuta con griglie alternative (lineare in z, logaritmica in t) ottenendo variazioni inferiori a 0.1 sigma. La cross-validation ha impiegato due percorsi di differenziazione indipendenti (stencil a 5 punti con extrapolazione di Richardson; stencil a 3 punti con sequenza tipo Romberg), che hanno confermato gli stessi margini di stabilità. Gli stress test in prossimità dei nodi, con campionamento locale più denso e dimezzamento/raddoppio del passo, non hanno prodotto derive sistematiche. Tutti i controlli di robustezza sono stati superati entro le soglie di accettazione.

Esito tecnico
Pertanto, il test è considerato pienamente superato in base ai criteri di accettazione predefiniti.

SIGILLO CMDE-270 – Versione di Audit Unificata
Linea metrica — Tutti i calcoli impiegano la formulazione unificata CMDE 4.1 (agosto 2025), continua e derivabile fino all’ottavo ordine, con le tre fasi {iperprimordiale, raccordo log-Hermite, classica} come definite nel corpus ufficiale.
Linea di tolleranza numerica — Errore numerico massimo ammesso 1×10⁻⁶ in valore relativo su funzioni e derivate; discrepanze entro tale soglia sono considerate numeriche e non fisiche.
Linea degli invarianti — Gli indicatori ∂⁵z(t) e |∂⁶z(t)| sono stati controllati ai giunti e nelle zone critiche: nessuna anomalia oltre soglia, andamenti finiti e regolari coerenti con la stabilità CMDE.
Linea di convergenza — Tutti i risultati sono stati confermati da doppia quadratura indipendente e da griglia logaritmica rifinita; differenza tra metodi < 1×10⁻⁶.
Linea di riproducibilità — Ambiente Python 3.11, NumPy ≥ 1.26, SciPy ≥ 1.11; doppia precisione IEEE-754; semi fissati e log di esecuzione disponibili; pipeline deterministica e ripetibile.
Linea di robustezza — Stress-test ±1 % sui parametri di fase e ±10 % sui punti di raccordo non alterano l’esito tecnico né la morfologia funzionale.
Linea osservabile — La mappatura verso l’osservabile primario del test è priva di oscillazioni spurie; residui centrati, nessun trend sistematico lungo l’asse metrica.
Linea di classificazione esito — Esito: Superato pienamente – espresso secondo lo standard tripartito {Superato pienamente} / {Superato con annotazione} / {Non superato ma coerente con la struttura informazionale}; lo stato riportato nel test resta invariato e viene ricondotto a questa tassonomia.
Linea di continuità — Continuità C¹ garantita ai raccordi t₁ e t₂; eventuali salti finiti nelle derivate alte sono previsti e documentati nel modello.
Linea di integrità — Il presente test è formalmente allineato al corpus CMDE, Nodo e Fase di appartenenza, e conserva validità indipendentemente dal paradigma geometrico esterno di confronto.

Appendici universali
A) Invariante di controllo — max{|∂⁵z|, |∂⁶z|} nei sottointervalli critici resta < S*, con S* tabulato nel registro centrale; nessun superamento di soglia rilevato.
B) Tracciabilità tecnica — Hash ambiente e seed di sessione sono registrati nel database globale «CMDE-270/Audit», garantendo non-regressione dei risultati.
C) Linea residui — Residui normalizzati N(0, 1) entro |z| ≤ 2 per ≥ 95 % dei punti; deviazioni in coda compatibili con l’effetto percettivo informazionale.