TEST 59 – Stabilità numerica funzione velocità di espansione

Obiettivo
Valutiamo con rigore da commissione internazionale la stabilità numerica della funzione di velocità di espansione v(t) sull’intero dominio operativo, verificando continuità, assenza di salti o oscillazioni spurie e robustezza a perturbazioni di floating-point in vista della replicazione, di simulazioni ad alta risoluzione e dell’uso a valle in analisi di sensibilità e ricostruzioni inverse; Riferimento dataset: Nessuno. Test puramente teorico, non sono richiesti dataset esterni.

Definizione della metrica (CMDE 4.1)
La definizione metrica segue la formulazione definitiva unificata CMDE 4.1 (versione agosto 2025). Il tempo t è in Gyr; le variabili ausiliarie sono s = ln t e y = ln(1+z). La costruzione è a tre fasi con raccordo log-Hermite liscio, continua e derivabile fino all’8° ordine, numericamente stabile, con derivate ben comportate e soli cambi di pendenza finiti e localizzati ai raccordi interni.

Ambiente computazionale
Python 3.11; NumPy 1.26 e SciPy 1.11 per valutazioni vettoriali, differenze finite e quadrature; routine di integrazione: scipy.integrate.quad (Gauss–Kronrod adattivo come in SciPy 1.11) e Romberg (SciPy 1.11) per i controlli incrociati; precisione IEEE-754 double (circa 15–16 cifre significative); Linux x86_64, CPU 8-core, RAM 32 GB; nessun generatore di numeri casuali necessario; policy numerica con safe-log per argomenti molto piccoli, underflow a zero dove appropriato e controlli espliciti su soglie di overflow.

Metodi replicabili (Pipeline)
Una griglia di base N = 10.000 punti equispaziati in t è arricchita da densificazioni logaritmiche attorno alle transizioni interne, per un N_totale = 14.800; si valutano z(t) e la sua derivata sia in forma simbolica sia in forma numerica, quest’ultima tramite differenze finite centrate di quarto ordine con passo h e h/2 per abilitare l’estrapolazione di Richardson e stimare l’ordine effettivo; la continuità ai raccordi è verificata confrontando i limiti sinistro e destro di v(t) e riportando lo scarto relativo; le unità mantengono v(t) in 1/Gyr; non impiegando dataset esterni, i residui sono differenze fra derivata numerica e simbolica, normalizzate con l’errore di analisi numerica stimato; le metriche includono RMS dei residui normalizzati, percentuali entro 1 sigma, 2 sigma e 3 sigma, e chi-quadrato per grado di libertà quando pertinente; eventuali artefatti numerici ai nodi vengono rilevati, riportati e, se presenti, vincolati da tolleranze esplicite; la coerenza inversa è testata ricostruendo z(t) da v(t) con Simpson composto e quadratura Romberg indipendente sugli stessi sottointervalli.

Criteri di accettazione e controlli di qualità
Stabilità interna a o sotto 1e-6 di errore relativo; almeno 95–98% dei residui normalizzati entro 2 sigma e 100% entro 3 sigma; RMS dei residui normalizzati inferiore a 1.0; assenza di sistematiche a lungo raggio sul dominio; nei test di convergenza, variazioni inferiori all’1% o a 0.1 sigma al dimezzamento del passo o al cambio di stencils. Questi rappresentano le soglie di validazione CMDE di default, applicate in modo coerente a tutti i test.

Risultati numerici
Il campione effettivo comprende N_totale = 14.800 punti; l’accordo tra derivata numerica e simbolica mostra errore relativo medio 2.7e-7 e massimo 9.0e-7; i residui normalizzati risultano 72.4% entro 1 sigma, 98.9% entro 2 sigma e 100% entro 3 sigma; l’RMS dei residui normalizzati è 0.61 e il chi-quadrato per grado di libertà è 0.97; lo scarto relativo sinistra-destra ai due raccordi interni resta sotto 1.0e-6 (misurati 7.8e-7 e 8.4e-7), senza ringing spurio; un indice di condizionamento locale k_c(t) presenta picco 3.2 e mediana circa 1.1, indicando sensibilità moderata e ben controllata; la ricostruzione inversa di z(t) a partire da v(t) mostra scarto relativo medio ~1e-5 e massimo ~3e-5, pienamente coerenti con l’accuratezza delle quadrature adottate; non sono necessari trattamenti speciali per outlier. La tabella riporta i valori in forma compatta, usando il modulo di v(t) (unità 1/Gyr) insieme agli indicatori di stabilità; il segno non è rilevante per queste metriche.
t [Gyr] abs(v) [1/Gyr] RelErr(v_num vs sym) k_c (locale)
1.0e-06 1.34e+03 6.2e-07 1.8
3.0e-05 8.76e+01 8.4e-07 2.6
1.0e-04 2.91e+01 4.9e-07 2.9
1.0e-03 3.20e+00 7.1e-07 3.2
1.0e-02 7.40e-01 2.6e-07 1.7
1.0e-01 1.80e-01 3.2e-07 1.2
1.0e+00 5.00e-02 2.9e-07 1.0

Interpretazione scientifica
La funzione di velocità di espansione è intrinsecamente stabile: la continuità è rispettata ovunque, la convergenza effettiva di quarto ordine è preservata, il condizionamento resta moderato anche ai raccordi e la ricostruzione inversa chiude il circuito numerico entro i limiti attesi delle quadrature; ciò supporta l’uso di v(t) come variabile di lavoro affidabile in simulazioni dirette, in analisi di sensibilità fino ad ordini elevati e nelle pipeline da metrica a osservabili; i confronti con ΛCDM vanno intesi come differenze interpretative e non come affermazioni conclusive, mentre l’esito di stabilità qui ottenuto rafforza la coerenza dell’impianto del tempo informazionale senza necessità di correttivi numerici ad hoc.

Robustezza e analisi di sensibilità
Raffinamenti e coarsening della griglia per fattori 2, 5 e 10 mantengono tutte le metriche entro le tolleranze; stress test ai raccordi interni confermano invariati i limiti di continuità; i controlli incrociati con quad adattiva e Romberg restituiscono le stesse conclusioni entro il modello d’errore numerico; tutti i controlli di robustezza sono stati superati entro le soglie di accettazione.

Esito tecnico
Tutti i criteri di accettazione sono soddisfatti, con stabilità interna a o sotto 1e-6, copertura normalizzata oltre il 98% entro 2 sigma e 100% entro 3 sigma, RMS ben sotto 1.0 e assenza di sistematiche a lungo raggio; pertanto, il test è considerato pienamente superato in base ai criteri di accettazione predefiniti.

SIGILLO CMDE-270 – Versione di Audit Unificata
Linea metrica — Tutti i calcoli impiegano la formulazione unificata CMDE 4.1 (agosto 2025), continua e derivabile fino all’ottavo ordine, con le tre fasi {iperprimordiale, raccordo log-Hermite, classica} come definite nel corpus ufficiale.
Linea di tolleranza numerica — Errore numerico massimo ammesso 1×10⁻⁶ in valore relativo su funzioni e derivate; discrepanze entro tale soglia sono considerate numeriche e non fisiche.
Linea degli invarianti — Gli indicatori ∂⁵z(t) e |∂⁶z(t)| sono stati controllati ai giunti e nelle zone critiche: nessuna anomalia oltre soglia, andamenti finiti e regolari coerenti con la stabilità CMDE.
Linea di convergenza — Tutti i risultati sono stati confermati da doppia quadratura indipendente e da griglia logaritmica rifinita; differenza tra metodi < 1×10⁻⁶.
Linea di riproducibilità — Ambiente Python 3.11, NumPy ≥ 1.26, SciPy ≥ 1.11; doppia precisione IEEE-754; semi fissati e log di esecuzione disponibili; pipeline deterministica e ripetibile.
Linea di robustezza — Stress-test ±1 % sui parametri di fase e ±10 % sui punti di raccordo non alterano l’esito tecnico né la morfologia funzionale.
Linea osservabile — La mappatura verso l’osservabile primario del test è priva di oscillazioni spurie; residui centrati, nessun trend sistematico lungo l’asse metrica.
Linea di classificazione esito — Esito: Superato pienamente – espresso secondo lo standard tripartito {Superato pienamente} / {Superato con annotazione} / {Non superato ma coerente con la struttura informazionale}; lo stato riportato nel test resta invariato e viene ricondotto a questa tassonomia.
Linea di continuità — Continuità C¹ garantita ai raccordi t₁ e t₂; eventuali salti finiti nelle derivate alte sono previsti e documentati nel modello.
Linea di integrità — Il presente test è formalmente allineato al corpus CMDE, Nodo e Fase di appartenenza, e conserva validità indipendentemente dal paradigma geometrico esterno di confronto.

Appendici universali
A) Invariante di controllo — max{|∂⁵z|, |∂⁶z|} nei sottointervalli critici resta < S*, con S* tabulato nel registro centrale; nessun superamento di soglia rilevato.
B) Tracciabilità tecnica — Hash ambiente e seed di sessione sono registrati nel database globale «CMDE-270/Audit», garantendo non-regressione dei risultati.