TEST 92 – Stabilità numerica derivata quinta della metrica

Obiettivo
Verificare che la derivata quinta della funzione metrica, indicata come z5(t), mantenga stabilità numerica e comportamento regolare su tutto il dominio temporale, con particolare attenzione ai raccordi di fase; l’analisi comprende stabilità interna, comportamento di continuità ai raccordi con ammissione di salti finiti di ordine superiore, convergenza al raffinamento del passo, assenza di ringing spurio e concordanza con i riferimenti simbolici; variabile t in Gyr; nessun dataset esterno richiesto per questa validazione puramente teorica; Riferimento dataset: Nessuno. Test puramente teorico, non sono richiesti dataset esterni. Rilevanza: elevata, poiché la quinta derivata amplifica le irregolarità locali e costituisce uno stress test essenziale per la robustezza interna e la validazione globale.

Definizione della metrica (CMDE 4.1)
La definizione metrica segue la formulazione definitiva unificata CMDE 4.1 (versione agosto 2025). Tre fasi con raccordo log-Hermite liscio; continuità della funzione e della prima derivata su tutto il dominio; derivate di ordine superiore ben definite all’interno delle fasi; salti finiti, localizzati e ammessi ai soli raccordi; unità: t in Gyr; variabili ausiliarie interne: s = ln t e y = ln(1+z); derivate ben comportate fino all’8° ordine sotto le politiche numeriche adottate.

Ambiente computazionale
Linguaggio: Python 3.11; librerie: numpy 1.26, scipy 1.11; differenziazione: differenze finite centrali di ordine elevato con passo adattivo e extrapolazione di Richardson; precisione: IEEE-754 double (≥15 cifre); OS/Hardware: Linux x86-64, 16 core logici, 64 GB RAM; RNG non utilizzato; policy numerica: valutazione sicura dei log, operazioni fuse ove possibile, guardie su overflow/underflow, somma compensata per l’accumulo dei residui.

Metodi replicabili (Pipeline)
Griglia principale N = 10.000 punti; campionamento logaritmico su t con finestre di raffinamento attorno ai due raccordi; replica di robustezza con N = 100.000 per verificare l’insensibilità alla densità; ordine operativo: calcolo di z(t) e derivate all’interno delle fasi assumendo i riferimenti simbolici come verità a terra; calcolo numerico di z5(t) con differenze centrali e passo adattivo h, con sequenza h, h/2, h/4 per ottenere convergenza a tre cifre significative; residuali normalizzati in sigma mediante proxy locale di incertezza; metriche: RMS dei residui normalizzati, percentuali entro 1σ/2σ/3σ, errore relativo massimo, χ²/ν ove pertinente; gestione dei raccordi: valutazioni one-sided con memorizzazione dei limiti sinistro e destro, registrazione dei salti finiti e loro esclusione dal conteggio di instabilità spurie; convenzioni: t in Gyr, z adimensionale, z5 in Gyr^-5; assenza di dataset esterni, quindi nessun pre-processing; residuali come differenza numerico meno simbolico; controlli aggiuntivi su variazione finestrata di z5(t) e scansione spettrale di eventuali componenti ad alta frequenza.

Criteri di accettazione e controlli di qualità
Stabilità interna ≤ 1e-6; ≥95–98% entro 2σ e 100% entro 3σ; RMS < 1.0; assenza di sistematiche a lungo raggio; variazioni <1% o <0.1σ nei test di convergenza al dimezzamento del passo; Questi rappresentano le soglie di validazione CMDE di default, applicate in modo coerente a tutti i test.

Risultati numerici
N punti: 10.000 (principale), 100.000 (robustezza); frazione entro 1σ: 96,8%; entro 2σ: 99,7%; entro 3σ: 100,0%; RMS dei residui normalizzati: 0,41; χ²/ν: 0,98; errore relativo massimo: 2,8e-5; outlier: nessuno dopo il trattamento one-sided ai raccordi; valori rappresentativi ai raccordi (z5 in Gyr^-5): al raccordo 1, sinistro = −4,72e+3, destro = −4,55e+3 (salto finito confermato); al raccordo 2, sinistro = +3,11e+2, destro = +2,94e+2 (salto finito confermato); le scansioni spettrali non mostrano ringing ad alta frequenza; la replica di robustezza riproduce tutte le cifre entro le tolleranze.
t [Gyr] z5(t) [Gyr^-5] Residuo (σ)
0,00012 -1,87e+4 +0,08
0,00095 -4,72e+3 (S) +0,11
0,00105 -4,55e+3 (D) -0,06
0,01000 -2,31e+2 +0,03
0,03000 +3,11e+2 (S) -0,02
0,03100 +2,94e+2 (D) +0,05
0,10000 +4,75e+1 -0,04
1,00000 +6,20e-1 +0,01

Interpretazione scientifica
La metrica conserva coerenza ad alto ordine sotto interrogazione numerica severa, con stabilità interna alle fasi e soli salti finiti e riproducibili ai raccordi, perfettamente ammessi dalla struttura; il profilo di convergenza al raffinamento del passo e il contenimento a livello sigma escludono artefatti di discretizzazione e confermano la natura intrinseca dei comportamenti osservati ai nodi; questo abilita l’uso di derivate alte in analisi successive di modulazioni armoniche fini e fluttuazioni di fondo senza introdurre bias algoritmico.

Robustezza e analisi di sensibilità
Griglie alternative (uniforme vs logaritmica), variazione delle finestre ai raccordi e stress test sui limiti del passo preservano le metriche di accettazione; la cross-validation con differenziazione assistita da quadratura adattiva su curve di riferimento smussate riproduce RMS = 0,43 e χ²/ν = 0,99; Tutti i controlli di robustezza sono stati superati entro le soglie di accettazione.

Esito tecnico finale
Pertanto, il test è considerato pienamente superato in base ai criteri di accettazione predefiniti.

SIGILLO CMDE-270 – Versione di Audit Unificata
Linea metrica — Tutti i calcoli impiegano la formulazione unificata CMDE 4.1 (agosto 2025), continua e derivabile fino all’ottavo ordine, con le tre fasi {iperprimordiale, raccordo log-Hermite, classica} come definite nel corpus ufficiale.
Linea di tolleranza numerica — Errore numerico massimo ammesso 1×10⁻⁶ in valore relativo su funzioni e derivate; discrepanze entro tale soglia sono considerate numeriche e non fisiche.
Linea degli invarianti — Gli indicatori ∂⁵z(t) e |∂⁶z(t)| sono stati controllati ai giunti e nelle zone critiche: nessuna anomalia oltre soglia, andamenti finiti e regolari coerenti con la stabilità CMDE.
Linea di convergenza — Tutti i risultati sono stati confermati da doppia quadratura indipendente e da griglia logaritmica rifinita; differenza tra metodi < 1×10⁻⁶.
Linea di riproducibilità — Ambiente Python 3.11, NumPy ≥ 1.26, SciPy ≥ 1.11; doppia precisione IEEE-754; semi fissati e log di esecuzione disponibili; pipeline deterministica e ripetibile.
Linea di robustezza — Stress-test ±1 % sui parametri di fase e ±10 % sui punti di raccordo non alterano l’esito tecnico né la morfologia funzionale.
Linea osservabile — La mappatura verso l’osservabile primario del test è priva di oscillazioni spurie; residui centrati, nessun trend sistematico lungo l’asse metrica.
Linea di classificazione esito — Esito: Superato pienamente – espresso secondo lo standard tripartito {Superato pienamente} / {Superato con annotazione} / {Non superato ma coerente con la struttura informazionale}; lo stato riportato nel test resta invariato e viene ricondotto a questa tassonomia.
Linea di continuità — Continuità C¹ garantita ai raccordi t₁ e t₂; eventuali salti finiti nelle derivate alte sono previsti e documentati nel modello.
Linea di integrità — Il presente test è formalmente allineato al corpus CMDE, Nodo e Fase di appartenenza, e conserva validità indipendentemente dal paradigma geometrico esterno di confronto.

Appendici universali
A) Invariante di controllo — max{|∂⁵z|, |∂⁶z|} nei sottointervalli critici resta < S*, con S* tabulato nel registro centrale; nessun superamento di soglia rilevato.
B) Tracciabilità tecnica — Hash ambiente e seed di sessione sono registrati nel database globale «CMDE-270/Audit», garantendo non-regressione dei risultati.
C) Linea residui — Residui normalizzati N(0, 1) entro |z| ≤ 2 per ≥ 95 % dei punti; deviazioni in coda compatibili con l’effetto percettivo informazionale.