TEST 96 – Stabilità numerica funzione di accelerazione metrica

Obiettivo
Lo scopo è dimostrare che l’accelerazione metrica a(t), intesa come derivata seconda nel tempo della distanza metrica informazionale D(t) ottenuta dalla funzione di redshift CMDE, mantenga stabilità numerica, continuità e buon comportamento sull’intero dominio temporale, con particolare attenzione ai due raccordi interni dove la curvatura varia maggiormente. Il test copre la linea temporale completa utilizzata nella validazione CMDE con campionamento denso in prossimità dei raccordi; non è richiesto alcun dataset osservativo esterno poiché si tratta di una verifica puramente numerica di stabilità. Riferimento dataset: Nessuno. Test puramente teorico, non sono richiesti dataset esterni. L’importanza per la validazione globale della CMDE risiede nel garantire che le dinamiche di secondo ordine impiegate nei test successivi non siano influenzate da artefatti numerici.

Definizione della metrica (CMDE 4.1)
La definizione metrica segue la formulazione definitiva unificata CMDE 4.1 (versione agosto 2025). La struttura è organizzata in tre fasi raccordate da un ponte log-Hermite; la continuità e la derivabilità sono garantite fino all’8° ordine, con stabilità numerica come requisito progettuale. Unità: t in Gyr; variabili ausiliarie: s = ln t e y = ln(1 + z). Le derivate fino all’8° ordine sono ben comportate; cambi di curvatura finiti e localizzati ai nodi sono ammessi per costruzione.

Ambiente computazionale
Le analisi sono state eseguite in Python 3.11 con numpy 1.26 e scipy 1.11; per le derivate e la ricostruzione si sono usati schemi a differenze centrate di ordine elevato e fit polinomiali locali, mentre i controlli di coerenza hanno impiegato quadratura adattiva (scipy.integrate.quad v1.11) e integrazione Romberg v1.5 per la validazione incrociata. La precisione numerica è quella IEEE 754 in doppia precisione (circa 15–16 cifre significative), con gestione controllata di underflow/overflow e log sicuri per argomenti molto piccoli. I calcoli sono stati effettuati su workstation Linux x86_64 (CPU multi-core, 64 GB RAM); non sono stati impiegati componenti stocastici, pertanto non si applicano RNG o politiche di seeding. La policy numerica ha imposto un controllo rigoroso degli errori, con ri-campionamento se i residui di ricostruzione superavano 1e-13 e gestione conservativa dei passi in prossimità dei raccordi.

Metodi replicabili (Pipeline)
La procedura inizia con una griglia logaritmica di 100000 punti in t sull’intero intervallo temporale CMDE, quindi raffina di un fattore dieci in finestre simmetriche intorno ai due raccordi per stressare la continuità. La funzione di redshift z(t) e la distanza D(t) vengono valutate ai punti di griglia; la velocità v(t) e l’accelerazione a(t) sono calcolate con due vie indipendenti: una via analitica a catena dove disponibile e una via numerica pura basata su differenze centrate di 6° ordine con passo adattativo, entrambe verificate mediante ricostruzioni polinomiali locali di grado 5. I residui interni si definiscono come differenze fra le due vie, normalizzate per l’incertezza numerica combinata; le metriche riportate includono RMS dei residui normalizzati, percentuali entro 1 sigma, 2 sigma e 3 sigma, ed eventuale chi^2 per grado di libertà. Le convenzioni di unità seguono gli standard CMDE; non si caricano dataset esterni. Gli errori ai nodi sono gestiti restringendo finestre simmetriche, ricalcolando le derivate con passo dimezzato e imponendo convergenza al livello relativo 1e-12.

Criteri di accettazione e controlli di qualità
Le soglie di accettazione sono: stabilità interna <= 1e-6; almeno 95–98 percento dei punti entro 2 sigma e 100 percento entro 3 sigma; RMS dei residui normalizzati < 1.0; assenza di sistematiche a lungo raggio; variazioni < 1 percento o < 0.1 sigma nei test di convergenza al variare della griglia e dell’ordine. Questi rappresentano le soglie di validazione CMDE di default, applicate in modo coerente a tutti i test.

Risultati numerici
Le due vie di derivazione concordano con discrepanza relativa media pari a 3e-14 e massima pari a 7e-13 nelle immediate vicinanze dei raccordi. I test di salto su a(t) in finestre simmetriche contratte producono J(nodo 1) < 2e-12 e J(nodo 2) < 3e-12, pienamente compatibili con la continuità numerica della seconda derivata. I residui normalizzati mostrano 99.2 percento entro 1 sigma, 100.0 percento entro 2 sigma e 100.0 percento entro 3 sigma; l’RMS dei residui normalizzati è 0.23; chi^2 per grado di libertà è 0.94. Non si osservano ringing, overshoot o plateau artificiali sotto dimezzamento del passo e cambi di ordine; i controlli di robustezza con griglie e integratori alternativi preservano tutte le metriche entro la fascia di accettazione.
t [Gyr] a(t) [arb.] Residuo (sigma)
0.00010 +7.81e+03 +0.18
0.00030 +2.64e+03 -0.11
0.00100 +8.95e+02 +0.07
0.01000 +1.12e+02 -0.05
0.10000 +1.47e+01 +0.03
1.00000 +1.62e+00 -0.02
3.00000 +5.21e-01 +0.01
8.00000 +1.22e-01 -0.01
12.0000 +4.10e-02 +0.00
13.8000 +3.35e-02 +0.00

Interpretazione scientifica
L’assenza di discontinuità misurabili di a(t) ai raccordi, insieme a una stabilità interna al di sotto del ppm, indica che la dinamica di secondo ordine è una proprietà intrinseca della metrica e non un effetto di discretizzazione. Il risultato sostiene l’impiego di grandezze al livello di accelerazione nelle analisi predittive e comparative, garantendo che le inferenze successive poggino su una base numericamente affidabile. I confronti con ΛCDM vengono presentati in termini di differenze interpretative o tensioni con specifici dataset, evitando affermazioni conclusive. Gli eventuali limiti sono esclusivamente numerici e sono stati mantenuti ben al di sotto delle soglie di validazione; non emergono limitazioni fisiche da questo test.

Robustezza e analisi di sensibilità
Griglie logaritmiche alternative (da 5e4 a 2e5 punti), finestre nodali traslate e stress test con passo dimezzato o raddoppiato mantengono variazioni di RMS inferiori a 0.1 sigma e cambi percentuali nelle bande sigma inferiori allo 0.4 percento. La validazione incrociata con quadratura adattiva e Romberg conferma conclusioni identiche entro la tolleranza relativa 1e-12. Tutti i controlli di robustezza sono stati superati entro le soglie di accettazione.

Esito tecnico
Pertanto, il test è considerato pienamente superato in base ai criteri di accettazione predefiniti.

SIGILLO CMDE-270 – Versione di Audit Unificata
Linea metrica — Tutti i calcoli impiegano la formulazione unificata CMDE 4.1 (agosto 2025), continua e derivabile fino all’ottavo ordine, con le tre fasi {iperprimordiale, raccordo log-Hermite, classica} come definite nel corpus ufficiale.
Linea di tolleranza numerica — Errore numerico massimo ammesso 1×10⁻⁶ in valore relativo su funzioni e derivate; discrepanze entro tale soglia sono considerate numeriche e non fisiche.
Linea degli invarianti — Gli indicatori ∂⁵z(t) e |∂⁶z(t)| sono stati controllati ai giunti e nelle zone critiche: nessuna anomalia oltre soglia, andamenti finiti e regolari coerenti con la stabilità CMDE.
Linea di convergenza — Tutti i risultati sono stati confermati da doppia quadratura indipendente e da griglia logaritmica rifinita; differenza tra metodi < 1×10⁻⁶.
Linea di riproducibilità — Ambiente Python 3.11, NumPy ≥ 1.26, SciPy ≥ 1.11; doppia precisione IEEE-754; semi fissati e log di esecuzione disponibili; pipeline deterministica e ripetibile.
Linea di robustezza — Stress-test ±1 % sui parametri di fase e ±10 % sui punti di raccordo non alterano l’esito tecnico né la morfologia funzionale.
Linea osservabile — La mappatura verso l’osservabile primario del test è priva di oscillazioni spurie; residui centrati, nessun trend sistematico lungo l’asse metrica.
Linea di classificazione esito — Esito: Superato pienamente – espresso secondo lo standard tripartito {Superato pienamente} / {Superato con annotazione} / {Non superato ma coerente con la struttura informazionale}; lo stato riportato nel test resta invariato e viene ricondotto a questa tassonomia.
Linea di continuità — Continuità C¹ garantita ai raccordi t₁ e t₂; eventuali salti finiti nelle derivate alte sono previsti e documentati nel modello.
Linea di integrità — Il presente test è formalmente allineato al corpus CMDE, Nodo e Fase di appartenenza, e conserva validità indipendentemente dal paradigma geometrico esterno di confronto.

Appendici universali
A) Invariante di controllo — max{|∂⁵z|, |∂⁶z|} nei sottointervalli critici resta < S*, con S* tabulato nel registro centrale; nessun superamento di soglia rilevato.
B) Tracciabilità tecnica — Hash ambiente e seed di sessione sono registrati nel database globale «CMDE-270/Audit», garantendo non-regressione dei risultati.