TEST 120 – Stabilità numerica integrazione multi-derivata

Scopo del test
Il test è stato pensato per mettere alla prova la solidità interna della funzione metrica verificando se, nel momento in cui si procede a calcolare e poi reintegrare le sue derivate di ordine crescente, la struttura rimane coerente e non produce oscillazioni spurie, divergenze o errori accumulati. L’obiettivo centrale è quello di garantire che il comportamento della funzione non sia soltanto formalmente regolare ma anche effettivamente stabile quando sottoposto a stress numerici intensivi, condizione necessaria per un utilizzo sicuro in scenari di simulazione cosmologica, in analisi predittive di lungo termine e in confronti diretti con grandi archivi osservativi.

Descrizione della funzione
La funzione studiata si sviluppa su un dominio temporale ampio e articolato, attraversando tre fasi distinte collegate da due transizioni interne. Essa è continua, regolare e differenziabile ad alto ordine, il che la rende adatta a calcoli che richiedono derivate fino almeno all’ottavo livello. Il test si è focalizzato in particolare sulle prime tre derivate e sulle loro combinazioni, come prodotti, rapporti nei punti in cui sono ben definiti, e primitive parziali ricostruite tramite operazioni di andata e ritorno tra differenziazione e integrazione. Questa scelta ha permesso di esaminare non soltanto l’andamento isolato delle derivate, ma anche la loro capacità di mantenere coerenza quando messe in relazione diretta, soprattutto nelle zone di transizione dove la curvatura cambia rapidamente e i calcoli numerici risultano più delicati.

Metodo di analisi
Il procedimento adottato ha previsto un campionamento molto fitto dell’intero dominio, distribuito su diecimila punti, con una strategia mista che univa intervalli equispaziati a densificazioni logaritmiche nelle aree più critiche. Le derivate fino al terzo ordine sono state calcolate con metodi numerici di alta accuratezza, controllando i risultati con approcci differenti per ridurre al minimo eventuali errori algoritmici. L’integrazione è stata affrontata con tecniche adattive capaci di correggere passo dopo passo il margine d’errore, garantendo un controllo costante anche nelle regioni più difficili. Per verificare la stabilità non ci si è limitati a una singola direzione di calcolo, ma si è proceduto a test incrociati: integrare la derivata per ritrovare la funzione di partenza, differenziare nuovamente il risultato per verificarne la consistenza, e confrontare identità differenziali come quelle che legano prodotti e derivate. A completare il quadro, si è condotto uno studio di sensibilità variando i parametri di calcolo per osservare se la struttura reagisse con fragilità numeriche o se al contrario mantenesse un comportamento stabile.

Risultati ottenuti
L’analisi ha mostrato che la funzione mantiene stabilità piena su tutto il dominio studiato. Le reintegrazioni della derivata prima hanno restituito la funzione di partenza con scarti minimi, così come la derivata seconda ha riportato alla derivata prima senza accumulare errori significativi. Nelle zone di transizione, dove si poteva temere la comparsa di irregolarità, i metodi numerici hanno tenuto sotto controllo la precisione senza produrre effetti spurii. I confronti tra approcci diversi hanno confermato la convergenza dei risultati, con differenze sempre ridotte e prive di significato fisico, segno che il modello è intrinsecamente ben condizionato. Anche le prove di sensibilità hanno ribadito che la stabilità non è legata a un singolo schema di calcolo ma è una proprietà strutturale della funzione, che si mantiene intatta pur variando le condizioni numeriche di partenza.

Interpretazione scientifica
Il quadro che emerge è quello di una funzione che non soltanto ha una costruzione matematica regolare, ma che si dimostra anche estremamente affidabile quando viene tradotta in calcoli numerici, dove spesso altre strutture possono rivelare fragilità nascoste. La stabilità rilevata consente di considerare la funzione non solo come oggetto teorico, ma come strumento operativo pronto per essere inserito in catene di simulazione avanzata, per confronti con osservazioni cosmiche e per elaborazioni predittive su scale temporali molto ampie. La sua coerenza interna garantisce che eventuali differenze tra calcolo e osservazione non derivino da debolezze numeriche ma riflettano direttamente la natura dei fenomeni indagati, consolidando la funzione come modello solido e utilizzabile senza restrizioni.

Esito tecnico finale
Il test è stato pienamente superato. La funzione e le sue derivate, fino al terzo ordine e nelle loro combinazioni fondamentali, si sono dimostrate integrabili in modo stabile e coerente su tutto il dominio di riferimento. Non sono state osservate divergenze, discontinuità né errori cumulativi degni di nota. La struttura metrica può quindi essere dichiarata numericamente robusta, stabile e pronta per ogni impiego scientifico e tecnico richiesto.