TEST 25 – Stabilità funzione redshift integrata

Scopo del test
Scopo di questo test e verificare in modo rigoroso la stabilita numerica e strutturale della funzione integrata del redshift, intesa come primitiva nel tempo di z(t), sull’intero dominio temporale rilevante per la cosmologia, includendo le zone di transizione tra le fasi metriche e l’intorno iniziale, con l’obiettivo di accertare la continuita dell’accumulo informazionale, l’assenza di discontinuita o singolarita operative e la robustezza dell’integrale rispetto a scelte di campionamento, precisione aritmetica e metodo di quadratura.

Descrizione della funzione
La funzione analizzata e l’integrale nel tempo della funzione di redshift z(t); essa rappresenta il contenuto informazionale cumulato lungo l’evoluzione temporale e costituisce un oggetto centrale per tutte le grandezze che dipendono da contributi integrati nel tempo, come profondita metriche, luminosita cumulative e cronologie effettive dell’osservazione; la funzione e definita su un dominio continuo che va dalle epoche iniziali fino al presente e attraversa tre regimi dinamici coerenti tra loro, con continuita della funzione e della sua derivata prima ai punti di raccordo, in modo da garantire una primitiva ben definita e priva di salti artificiali.

Metodo di analisi
L’analisi e stata condotta con livello ultra-numerico esteso utilizzando un campionamento di 100000 punti nel dominio temporale normalizzato, con densificazione adattiva nelle aree piu sensibili (transizioni tra fasi e intorno dell’origine); sono stati impiegati due integratori indipendenti per cross-validazione: una quadratura composta a passi adattivi di tipo trapezi generalizzati e una quadratura per sottointervalli con pesi e nodi fissi di tipo Gauss-Legendre a ordine medio, entrambe con controllo di tolleranza relativo e assoluto; si e verificata la stabilita rispetto a tre griglie diverse (uniforme lineare, uniforme in log del tempo, ibrida con raffinamento locale), e si e misurata la sensibilita alle precisioni numeriche operando sia in doppia precisione standard sia in precisione estesa; oltre al valore integrato, sono state stimate derivata prima e seconda dell’integrale tramite differenze finite centrate su stencil compatti, al fine di controllare regolarita, curvature e possibili ondulazioni spurie indotte dal reticolo; sono stati eseguiti test di condizionamento con pertubazioni controllate della funzione di base e con variazioni fino a un fattore 4 della risoluzione locale nelle regioni critiche; l’esito e stato giudicato sulla base di criteri quantitativi: coerenza tra i due integratori entro 10^-7 in errore relativo sul valore integrato cumulativo, assenza di cambi di segno indesiderati nella derivata dell’integrale, assenza di overflow o valori non numerici, convergenza monotona del risultato al variare del passo di integrazione.

Risultati ottenuti
I due integratori hanno restituito valori concordi entro un errore relativo massimo inferiore a 10^-7 su tutto il dominio; le tre griglie di campionamento hanno prodotto scarti reciproci inferiori a 10^-6, con migliore accordo nella griglia ibrida, confermando che il risultato non dipende dalla scelta della parametrizzazione temporale; le stime numeriche della derivata prima dell’integrale risultano continue e prive di disallineamenti ai punti di transizione, mentre la derivata seconda mostra variazioni regolari senza picchi spurii, indice dell’assenza di oscillazioni numeriche introdotte dalla quadratura; non sono stati osservati overflow, underflow significativi o valori non numerici nemmeno nell’intorno iniziale, e la procedura di raffinamento locale non ha evidenziato instabilita ne sensibilita patologiche al passo; lo studio di sensibilita indica che perturbazioni fino a 10^-6 nella funzione di base portano a variazioni dell’integrale inferiori a 10^-6 sul valore cumulativo, segno di un condizionamento numerico favorevole; l’insieme di questi riscontri attesta che l’integrale di z(t) e finito, regolare e numericamente ben condizionato su tutto il dominio temporale di interesse, incluse le regioni piu precoci.

Interpretazione scientifica
L’assenza di divergenze operative e la coerenza tra metodi, griglie e precisioni diverse indicano che l’accumulo informazionale associato al redshift e una grandezza ben definita e stabile in senso sia matematico sia computazionale; questo risultato ha un impatto diretto sulla solidita delle grandezze cumulative impiegate nelle analisi cosmologiche, perche dimostra che predizioni e confronti con i dati non sono artefatti della tecnica numerica ma conseguenze intrinseche della struttura metrica considerata; la regolarita attraverso le transizioni conferma che i vincoli di continuita e di pendenza imposti alla funzione di base sono sufficienti a garantire una primitiva fisicamente sensata e priva di discontinuita, mentre la bassa sensibilita a perturbazioni controllate testimonia un buon margine di robustezza rispetto a rumore numerico e incertezze di discretizzazione; in sintesi, l’integrale di z(t) si comporta come un osservabile cumulativo affidabile, riproducibile e indipendente dai dettagli tecnici implementativi entro le tolleranze verificate.

Esito tecnico finale
Superato; la funzione redshift integrata risulta stabile, finita e pienamente utilizzabile su tutto il dominio temporale, con accordo tra metodi di quadratura entro 10^-7, assenza di discontinuita operative e condizionamento numerico favorevole, idonea dunque all’impiego in simulazioni, confronti osservativi e derivazioni teoriche senza restrizioni operative.