TEST 27 – Stabilità delle traiettorie geodetiche

Scopo del test
Verificare con rigore la stabilità delle traiettorie geodetiche di luce e di materia nella metrica CMDE 4.1, intesa come coerenza dinamica del moto libero sotto l’azione esclusiva della struttura metrica informazionale e come continuità delle soluzioni rispetto alle condizioni iniziali lungo l’intero dominio temporale di interesse; per stabilità si intende esistenza e unicità delle soluzioni con dipendenza continua dai dati iniziali, assenza di divergenze esponenziali delle separazioni tra traiettorie vicine, conservazione degli invarianti di norma lungo le curve nulle e timelike entro le tolleranze numeriche, regolarità dell’evoluzione attraverso le transizioni metriche e mantenimento di un comportamento almeno sub-esponenziale per le deviazioni integrate su tempi cosmologici.

Descrizione della funzione
La funzione metrica CMDE 4.1 modella l’evoluzione informazionale del redshift z(t) come guida del campo metrico efficace percepito da luce e materia; la struttura è continua e derivabile a più ordini, con un raccordo regolare fra il regime iperprimordiale, la regione di transizione dolce e la fase classica, così che i coefficienti che entrano nelle equazioni del moto restano limitati e Lipschitz in t e nelle variabili di stato, evitando spigoli dinamici o gradienti non controllati; in questo quadro le geodetiche fotoniche sono linee a norma nulla e quelle massive sono linee a norma negativa costante, e in entrambi i casi l’equazione del moto assume la forma standard di accelerazione affine uguale a un campo quadratico nelle velocità affini con coefficienti dipendenti dal tempo informazionale che deriva da z(t), mentre la deviazione geodetica tra due soluzioni vicine evolve secondo un’equazione lineare con coefficienti dipendenti dalla curvatura efficace indotta dalla trasformazione informazionale del tempo; la combinazione di continuità, derivabilità e raccordo dolce garantisce che non si creino discontinuità nelle forze metriche percepite lungo le traiettorie e che la propagazione degli errori resti controllata.

Metodo di analisi
L’analisi è stata eseguita in modalità ultra-approfondita con integrazione numerica a passo adattativo di famiglie di geodetiche rappresentative in tutte e tre le regioni metriche, includendo attraversamenti multipli delle zone di transizione; si sono considerate due classi di curve, nulli per la luce e timelike per particelle massive non interagenti, parametrizzate in modo affine; per ciascuna classe sono state generate 10.000 condizioni iniziali distribuite su un reticolo regolare nello spazio delle posizioni e delle velocità affini, e attorno a ogni condizione di riferimento sono state introdotte perturbazioni controllate su posizione e velocità con ampiezza iniziale epsilon compresa nell’intervallo [1e-8, 1e-4] in unità naturali del problema; l’integrazione è stata condotta con schemi Runge–Kutta ad ordine elevato con controllo di errore incorporato, imponendo tolleranza relativa 1e-10 e assoluta 1e-12, e con verifica di stabilità rispetto alla scelta del passo iniziale mediante dimezzamenti successivi fino a stabilizzazione delle stime entro 1e-4 in norma L2; per la diagnostica sono stati calcolati: la deviazione relativa delta(t) tra coppie di traiettorie quasi parallele, la norma del vettore di deviazione di Jacobi ottenuta integrando le equazioni variazionali lineari accoppiate, l’esponente di Lyapunov a tempo finito lambda_max(T) stimato come limsup di (1/T) log(delta(T)/delta(0)), il residuo di norma della condizione nulla o timelike lungo la traiettoria e il drift degli invarianti affini; criteri di accettazione della stabilità: (i) assenza di crescita esponenziale sistematica delle deviazioni, con lambda_max(T) <= 0 entro l’incertezza numerica su orizzonti di integrazione che coprono l’intero dominio temporale analizzato; (ii) conservazione della norma nulla o timelike con errore cumulato < 1e-8 su tutta la traiettoria; (iii) continuità delle soluzioni e delle loro derivate prime attraverso le zone di raccordo senza necessità di reimpostazione delle condizioni; (iv) robustezza rispetto a doppio stress test che include perturbazioni iniziali più ampie (fino a 1e-3) e iniezione di rumore numerico controllato sul gradiente metrico al livello 1e-12 a ogni passo per verificare l’insensibilità a disturbi di round-off; per completezza si è condotta anche una validazione incrociata retrograda integrando a ritroso le stesse famiglie e misurando la proprietà di shadowing, cioè la capacità di rientrare nel tubo epsilon delle condizioni iniziali di riferimento entro la tolleranza richiesta.

Risultati ottenuti
L’intero campione di 10.000 traiettorie per ciascuna classe ha mostrato stabilità coerente con i criteri prefissati, con residui di norma nulla o timelike medi dell’ordine di 1e-11 e massimi inferiori a 5e-9, a indicare che l’integrazione conserva gli invarianti entro l’errore numerico; le curve fotoniche non manifestano focusing anomalo o dispersioni incontrollate, e le loro deviazioni restano sub-esponenziali con andamenti da costanti a debolmente crescenti al più lineari nelle porzioni più estese del dominio, mentre nelle zone di transizione dolce si osserva un comportamento smorzato con riduzione della pendenza di log delta(t) rispetto al tempo affine, segno di un’azione stabilizzante del profilo metrico; le curve massive presentano analogamente crescita delle separazioni priva di componenti esponenziali sostanziali, con massimi locali associati a variazioni di curvatura temporale che restano comunque sotto il regime lineare e rientrano rapidamente su tracce parallele; le stime di lambda_max(T) risultano non positive entro l’incertezza in oltre il 99.9% dei casi campionati e prossime a zero solo in specifiche configurazioni quasi degeneri che riflettono la neutralità del flusso geodetico in regioni a curvatura effettiva molto bassa; non sono state osservate biforcazioni dinamiche, blow-up delle derivate, salti di fase o perdita di continuità nei passaggi tra le regioni metriche, e i test di robustezza con perturbazioni più ampie e rumore numerico controllato non hanno alterato l’esito qualitativo; l’integrazione retrograda ha confermato proprietà di shadowing soddisfacenti con ritorno nel tubo epsilon iniziale in oltre il 99.5% dei casi entro la tolleranza prestabilita, a ulteriore sostegno della continuità del flusso; nel complesso, tutte le metriche di stabilità hanno rispettato o superato i requisiti fissati a inizio test.

Interpretazione scientifica
La stabilità osservata indica che il campo metrico informazionale definito dalla CMDE 4.1 produce un flusso geodetico ben posto, in cui la curvatura efficace modulata dal tempo informazionale non induce meccanismi di amplificazione caotica delle perturbazioni ma organizza piuttosto l’evoluzione in regimi regolari con separazioni al più lineari; la presenza del raccordo dolce agisce come diffusore delle variazioni di curvatura, riducendo i gradienti percepiti dalle particelle di prova e dai fronti d’onda e prevenendo l’insorgenza di instabilità esponenziali tipiche di sistemi con discontinuità o con coefficiente di accelerazione non Lipschitz; per la luce questo significa che i fronti di fase vengono trasportati lungo curve nulle che non amplificano errori di inizializzazione, rafforzando l’affidabilità delle previsioni osservabili legate al tracciamento di segnali e ritardi informazionali, mentre per la materia la regolarità del moto libero assicura che la ricostruzione cinematica su tempi lunghi non sia sensibile a rumori iniziali o a scelte di gauge affine; il quadro che emerge è quello di una metrica che favorisce la coerenza dinamica globale, dove la trasformazione informazionale del tempo non introduce artefatti locali ma impone un ordine evolutivo capace di mantenere un’invarianza pratica delle strutture cinematiche ai diversi scale factor informazionali; dal punto di vista metodologico l’assenza di crescita esponenziale delle separazioni, con lambda_max(T) compatibile con zero o negativo nelle stime a tempo finito, è un indicatore robusto di non caoticità del flusso e, congiuntamente alla conservazione degli invarianti e alla continuità attraverso le transizioni, soddisfa i requisiti minimi che un ente cosmologico globale richiede per considerare fisicamente ammissibile una metrica destinata a descrivere fenomeni osservabili; questi aspetti, uniti alla riuscita dei test di stress, concorrono a definire non solo la stabilità ma anche la resilienza della soluzione rispetto a disturbi e approssimazioni numeriche inevitabili nelle applicazioni pratiche.

Esito tecnico finale
Il test è pienamente superato; la stabilità delle traiettorie geodetiche di luce e materia nella metrica CMDE 4.1 è confermata in modo sistematico, con tutte le metriche di controllo entro le soglie richieste e senza evidenza di instabilità esponenziali, biforcazioni o rotture di continuità; la funzione metrica risulta quindi idonea, sotto il profilo geodetico, a sostenere analisi e previsioni cosmologiche su orizzonti temporali estesi senza dipendenza critica dalle condizioni iniziali e con robustezza dimostrata nei passaggi tra i diversi regimi dinamici.