TEST 37 – Stabilità numerica del raccordo sigmoide

Scopo del test
Il cuore di questo test è stato quello di verificare con il massimo rigore che il raccordo sigmoide, la regione delicata in cui la funzione cosmologica cambia regime, conservi stabilità numerica e coerenza matematica. Era necessario garantire che la transizione non introducesse anomalie di continuità, salti improvvisi o oscillazioni spurie che avrebbero potuto compromettere il significato fisico del modello. L’obiettivo era quindi dimostrare che la funzione rimane armonica e regolare anche laddove si intrecciano due fasi diverse, mantenendo intatta la sua solidità strutturale.

Descrizione della funzione
La funzione analizzata è costruita in modo da congiungere due domini metrici distinti attraverso un raccordo di tipo sigmoide. Questo segmento intermedio è definito in un dominio trasformato, così da rendere più naturale la progressione e agevolare la continuità fra i due estremi. L’andamento della funzione è controllato imponendo non solo il valore ai bordi ma anche la pendenza, in modo da garantire che il passaggio non presenti irregolarità. La trasformazione successiva riporta questa costruzione nel tempo fisico, ottenendo così un comportamento che risulta continuo e derivabile almeno fino al primo ordine. All’interno dell’intervallo di raccordo la funzione è stata progettata per essere regolare anche a ordini superiori, evitando tensioni e rigidità che potrebbero compromettere la stabilità numerica.

Metodo di analisi
Per svolgere la verifica è stata eseguita un’analisi su un ampio intervallo intorno al raccordo, campionando con grande densità di punti la funzione e le sue derivate. La strategia è stata duplice: da un lato lo studio simbolico della funzione e delle sue derivate fino agli ordini alti, dall’altro la verifica numerica ottenuta con tecniche di discretizzazione e differenze finite. L’approccio numerico è stato accurato, con passi di calcolo variabili e controllati per sondare la sensibilità e l’eventuale presenza di errori sistematici. Sono stati messi a confronto i risultati ottenuti con passi diversi per escludere instabilità dovute al metodo e sono stati condotti test di robustezza modificando leggermente le condizioni ai bordi del raccordo per osservare la reazione della funzione. L’insieme di queste procedure ha consentito di ottenere un quadro completo e affidabile sul comportamento del raccordo.

Risultati ottenuti
I valori della funzione nei pressi della zona di transizione si sono mostrati regolari e privi di discontinuità. Non sono emersi salti né irregolarità, le derivate hanno confermato di essere ben comportate e prive di oscillazioni spurie. Le valutazioni numeriche hanno registrato scarti minimi, dell’ordine delle soglie attese per una rappresentazione a doppia precisione, e questi scarti non si sono amplificati al variare del passo di discretizzazione. Anche i test su derivate di ordine superiore hanno restituito un quadro regolare, mostrando variazioni finite e controllate senza alcuna divergenza. L’analisi di stabilità ha confermato che la funzione non presenta condizionamenti negativi né tende a degenerare sotto perturbazioni controllate, e che le variazioni parametriche introdotte non generano effetti indesiderati come oscillazioni artificiali.

Interpretazione scientifica
Questi risultati mostrano che il raccordo sigmoide riesce a garantire la continuità e l’armonia necessarie a un modello cosmologico coerente. La funzione non solo si comporta bene in termini puramente matematici, ma assicura anche che le grandezze fisiche derivate possano essere utilizzate senza rischio di artefatti numerici. In altre parole, velocità, accelerazioni e parametri associati rimangono affidabili e liberi da distorsioni indotte dalla costruzione del raccordo. La scelta di utilizzare una costruzione dolce e controllata si dimostra quindi non soltanto elegante sul piano teorico, ma anche estremamente robusta sul piano pratico, perché permette di evitare accumuli di errori nelle simulazioni e nei confronti osservativi. Il raccordo si rivela pertanto un punto di forza del modello, capace di accompagnare in maniera naturale il passaggio tra due regimi distinti senza introdurre fragilità.

Esito tecnico finale
Il test è stato pienamente superato. La stabilità numerica del raccordo sigmoide è stata confermata in tutte le prove, senza che emergessero anomalie o criticità. La funzione si dimostra regolare, stabile e affidabile anche nelle sue derivate più alte, consolidando così la validità complessiva della struttura e assicurando che il modello rimanga solido non solo dal punto di vista concettuale, ma anche in fase di applicazione numerica e simulativa.