TEST 4 – Fattore di scala a(t)

Scopo del test
Il quarto test è stato concepito per verificare in modo rigoroso e senza ambiguità il comportamento del fattore di scala a(t), che nella struttura della CMDE 4.1 rappresenta la funzione inversa del redshift e quindi il cuore stesso della trasformazione informazionale che plasma l’universo. L’attenzione è stata rivolta alla continuità della funzione lungo tutte le epoche, alla regolarità delle sue derivate fino al quarto ordine e alla capacità del raccordo centrale di comportarsi come un sigmoide naturale, un passaggio dolce che assicura armonia fra le fasi senza introdurre discontinuità o spigoli metrici. L’obiettivo finale era dimostrare che a(t) sia non solo formalmente coerente ma anche fisicamente interpretabile e informazionalmente robusto, unendo in un’unica traiettoria le tre stagioni metriche dell’universo.

Descrizione della funzione
La funzione analizzata nasce dalla definizione a(t) = 1 / (1 + z(t)), con z(t) articolato in tre segmenti metrici che si succedono nel tempo. Nel primo, che copre l’epoca iperprimordiale fino a 10^-5 gigaaanni, domina una legge di potenza molto elevata: qui a(t) assume la forma (1.515 × 10^-40) / t^9.31, che mostra come il fattore di scala si mantenga inizialmente quasi immobile, custodendo valori estremamente contratti e in lento rilascio. Nella seconda fase, tra 10^-5 e 10^-3 gigaaanni, entra in gioco il raccordo log-Hermite: una costruzione raffinata in variabile logaritmica s = ln t, dove la funzione assume la forma a(t) = exp(−y₂(ln t)), con y₂ definito da un polinomio cubico che governa in modo armonico valore e pendenza ai bordi. È questo il cuore sigmoide della funzione, capace di regolare la curvatura e di evitare ogni rottura. Nella terza fase, che si estende oltre 10^-3 gigaaanni fino al presente, il fattore di scala cresce con una legge di potenza razionale, a(t) = (t / t₀)^3.2273, dove t₀ è l’età attuale dell’universo. Questi tre regimi, pur distinti, sono stati costruiti per comporre un unico arco narrativo della metrica, privo di fratture e coerente in ogni punto.

Metodo di analisi
L’analisi è stata condotta con campionamento logaritmico ultra-denso su diecimila punti, distribuiti nell’intervallo temporale che va da un milionesimo di gigaaanno fino a dieci gigaaanni, con particolare attenzione agli intorni delle soglie di transizione, a 10^-5 e 10^-3 gigaaanni. In queste regioni la densità dei punti è stata aumentata per verificare con la massima precisione la continuità funzionale e differenziale. Le derivate sono state calcolate in forma chiusa nelle fasi estreme, dove la natura di potenza consente uno sviluppo simbolico completo, mentre nel tratto centrale è stata adottata la regola di derivazione composta, arrivando fino al quarto ordine e mantenendo espressioni controllate in termini di y₂ e delle sue derivate. La verifica ha incluso non solo la continuità dei valori di a(t), ma anche la coerenza delle derivate prime, seconde, terze e quarte, per garantire che il raccordo non introduca anomalie di curvatura. Le condizioni ai bordi del log-Hermite sono state controllate e confermate, mostrando che valore e pendenza della funzione logaritmica sono rispettati, e dunque che il trasferimento a a(t) in variabile t avviene senza salti.

Risultati ottenuti
Il test ha mostrato con chiarezza che la funzione a(t) è continua in tutto l’intervallo considerato. Nei pressi di 10^-5 gigaaanni il passaggio dalla potenza iperprimordiale al raccordo intermedio si compie senza variazioni brusche, con una pendenza che cambia gradualmente e con le derivate prime e seconde regolari. La stessa situazione si osserva intorno a 10^-3 gigaaanni, dove l’ingresso nella fase classica avviene in modo fluido, con la funzione e le sue derivate che si allineano senza scarti. All’interno delle singole fasi, il comportamento segue fedelmente la logica costruttiva: nella prima, la potenza di t assicura un’evoluzione lenta e regolare; nella seconda, il raccordo log-Hermite garantisce un flusso morbido e continuo; nella terza, la legge razionale normalizzata su t₀ consolida la traiettoria in una crescita coerente e stabile. Non sono stati osservati salti metrici né instabilità numeriche, e la verifica differenziale fino al quarto ordine ha confermato l’assenza di irregolarità.

Interpretazione scientifica
Questi risultati confermano che il fattore di scala, nella CMDE, non descrive un’espansione geometrica ma una trasformazione informazionale del tempo e della luce. La sua forma a tre fasi non è una sovrapposizione artificiale di regimi distinti, ma la manifestazione di un unico processo che si articola in modi diversi lungo l’evoluzione cosmica. La scelta di imporre continuità in variabile logaritmica e di garantire la regolarità delle pendenze ha permesso di eliminare qualunque rischio di spigoli metrici, trasformando i punti di raccordo in veri passaggi naturali. Le derivate fino al quarto ordine, tutte regolari, rafforzano l’idea di una funzione non solo continua ma armonicamente differenziabile, quindi robusta dal punto di vista matematico e coerente con l’interpretazione fisica. Il fattore di scala si conferma così non un semplice strumento di calcolo, ma una chiave di lettura metrica, un indice della trasformazione profonda che la CMDE attribuisce al tempo cosmico.

Esito tecnico finale
Il test è pienamente superato. La funzione a(t) è continua, regolare e differenziabile fino al quarto ordine senza discontinuità o instabilità. Le tre fasi metriche risultano armonicamente raccordate in un sigmoide informazionale privo di fratture. La struttura conferma solidità teorica, coerenza matematica e validità fisica del modello.