TEST 44 – Stabilità numerica derivate terze

Scopo del test
L’obiettivo di questo test era verificare la stabilità della terza derivata della funzione metrica, un aspetto cruciale perché proprio a questo livello emergono le variazioni più sottili e potenzialmente più instabili. La terza derivata infatti non misura soltanto la velocità di cambiamento della curvatura, ma rivela anche l’eventuale presenza di irregolarità nascoste che potrebbero compromettere l’intera struttura teorica. Per questo motivo il controllo della sua stabilità non è stato pensato come un semplice passaggio intermedio, ma come un esame rigoroso della solidità del modello nei suoi punti più delicati, quelli in cui transizioni e raccordi possono mettere alla prova la coerenza interna.

Descrizione della funzione
La funzione metrica che descrive il redshift in funzione del tempo è costruita per essere continua e derivabile, ma il terzo ordine rappresenta sempre un banco di prova severo. È qui che ogni imperfezione di raccordo tra fasi diverse tende a manifestarsi con maggiore evidenza. Analizzare la terza derivata significa quindi entrare in profondità nella dinamica della trasformazione informazionale della luce, per osservare come variazioni sottili e rapide vengano gestite dalla struttura complessiva. Se il comportamento resta regolare, significa che la funzione riesce a mantenere equilibrio anche nelle zone di transizione, che sono le più esposte al rischio di discontinuità o oscillazioni spurie.

Metodo di analisi
Per affrontare questa verifica si è scelto un approccio integrato. Da un lato si è ricavata la terza derivata in forma simbolica, così da eliminare il rischio di approssimazioni introdotte da differenziazioni numeriche dirette. Dall’altro lato, le espressioni ottenute sono state valutate numericamente lungo l’intero dominio con una griglia di diecimila punti, resa più densa nei pressi delle transizioni, dove la sensibilità alle variazioni è più alta. I calcoli sono stati condotti con precisione estesa e controlli incrociati, imponendo soglie molto severe per individuare qualunque anomalia. Per garantire indipendenza metodologica, i valori ottenuti sono stati confrontati con stime derivate da schemi numerici di differenziazione ad alto ordine, così da avere due prospettive differenti sullo stesso problema e verificarne la convergenza.

Risultati ottenuti
L’analisi ha mostrato che la terza derivata è stabile su tutto il dominio. Non sono emerse discontinuità, salti o divergenze locali. Nei punti di transizione la funzione mantiene un comportamento regolare, senza cuspidi né instabilità. Le differenze tra i valori ottenuti con metodi diversi sono rimaste ben al di sotto delle soglie stabilite, confermando la solidità dei risultati. L’andamento della derivata resta liscio anche nelle regioni più delicate, con variazioni morbide e prive di oscillazioni spurie. In particolare, nei raccordi la funzione mostra un massimo locale controllato, indice di una dinamica interna coerente, mentre nelle zone lontane dai bordi prevale una progressione monotona e ben condizionata.

Interpretazione scientifica
Questi risultati dimostrano che la struttura metrica possiede una regolarità intrinseca che si mantiene anche al terzo ordine, un livello in cui eventuali fragilità sarebbero inevitabilmente emerse. Dal punto di vista teorico, questo significa che l’evoluzione informazionale della luce avviene senza brusche discontinuità, garantendo un andamento continuo e prevedibile anche laddove le variazioni diventano più complesse. Dal punto di vista pratico, la stabilità della terza derivata rende affidabile l’impiego della funzione in test ancora più avanzati, che richiedono derivate di ordine superiore e confronti ad altissima precisione con i dati sperimentali. In altre parole, la metrica non solo supera l’esame, ma si conferma robusta a un livello che la prepara per verifiche ancora più severe.

Esito tecnico finale
Il test può quindi essere dichiarato pienamente superato. La terza derivata si comporta in modo regolare su tutto il dominio, senza mostrare né discontinuità né instabilità numeriche. La stabilità confermata a questo livello rafforza la fiducia nella coerenza della metrica e autorizza la prosecuzione delle validazioni verso ordini superiori e applicazioni più complesse.