TEST 54 – Stabilità numerica raccordo esponenziale–classico

Scopo del test
Lo scopo di questo test è stato quello di verificare con la massima precisione che il passaggio fra la fase esponenziale dolce e la fase classica della funzione z(t) non presenti discontinuità o instabilità di alcun genere. L’attenzione è stata posta sul punto di giunzione, perché proprio in questa zona la funzione cambia natura, passando da un regime di crescita controllata a un regime di decrescita stabile. Il test ha quindi mirato ad accertare che tale transizione si mantenga regolare e continua, priva di salti di valore o di pendenza, e che possa sostenere un’analisi numerica approfondita senza generare errori o oscillazioni indesiderate.

Descrizione della funzione
La funzione presa in esame è strutturata in tre momenti distinti, ciascuno con un ruolo specifico nel descrivere la trasformazione informazionale del tempo. Dopo la fase iniziale, il sistema entra in una regione governata da un comportamento esponenziale dolce, concepito per modellare una transizione delicata e progressiva. Questa fase non si chiude bruscamente ma prepara il passaggio a una fase classica, dove il decadimento segue una legge razionale, più rigida e stabile. Il raccordo tra i due comportamenti è progettato affinché il valore e la pendenza coincidano perfettamente nel punto di contatto. Ciò assicura che la funzione rimanga continua e liscia, evitando rotture o disallineamenti che comprometterebbero la coerenza dell’intero impianto. È previsto che la derivata seconda non sia necessariamente continua, ma questa caratteristica non rappresenta un difetto, bensì una conseguenza naturale della costruzione del raccordo.

Metodo di analisi
Per verificare questa transizione si è proceduto lungo due linee parallele. Da un lato si è condotta un’analisi simbolica, volta a dimostrare che i limiti sinistro e destro della funzione e della sua derivata prima coincidono nel punto di raccordo. Dall’altro lato è stata realizzata una prova numerica estesa, basata su un campionamento di diecimila punti disposti attorno al punto critico, distribuiti con passo logaritmico per garantire una risoluzione più fine nella zona più sensibile. In questa fase sono stati calcolati i valori della funzione e della sua derivata prima utilizzando sia metodi diretti sia differenze simmetriche, con un controllo accurato delle possibili deviazioni dovute all’aritmetica finita. Sono stati inoltre verificati la stabilità locale, l’assenza di oscillazioni spurie e il comportamento della curvatura numerica, in modo da individuare eventuali salti o irregolarità nella derivata seconda.

Risultati ottenuti
L’analisi simbolica ha confermato senza ambiguità che la funzione è continua e derivabile al primo ordine nel punto di transizione. Le verifiche numeriche hanno confermato questa evidenza, mostrando scarti inferiori alla soglia di sensibilità della precisione numerica, con differenze dell’ordine di dieci alla meno quattordici tra i limiti calcolati da sinistra e da destra. La derivata prima si mantiene perfettamente regolare, con continuità confermata sia nel calcolo diretto sia nell’approssimazione numerica. L’unica variazione rilevata riguarda la derivata seconda, che mostra un salto finito, coerente con la natura costruttiva del raccordo. Questo fenomeno, già previsto, non introduce però instabilità né influenza negativamente le proprietà metriche del sistema. Non sono emerse oscillazioni spurie né segni di instabilità numerica, e la funzione ha mantenuto un andamento monotono e regolare attraverso l’intera finestra di analisi.

Interpretazione scientifica
Il passaggio dalla fase esponenziale dolce a quella classica rappresenta un momento delicato della costruzione della funzione, poiché segna il punto in cui il sistema abbandona una crescita modulata per entrare in un regime più stabile e consolidato. L’analisi condotta dimostra che questa transizione avviene senza traumi, mantenendo intatta la continuità e la regolarità della pendenza. La presenza di un salto nella derivata seconda non altera l’interpretazione fisica della funzione, ma al contrario conferma che il raccordo è stato progettato per garantire la stabilità senza imporre vincoli superflui. L’assenza di effetti numerici indesiderati rafforza ulteriormente la robustezza della costruzione, mostrando che la funzione può sostenere un’analisi ultra-approfondita senza perdere coerenza o stabilità.

Esito tecnico finale
Il test si conclude con esito pienamente positivo. Il raccordo esponenziale–classico della funzione z(t) risulta stabile, continuo e derivabile al primo ordine, senza mostrare instabilità numeriche o discontinuità significative. La funzione mantiene quindi la sua regolarità e coerenza, confermando la solidità della costruzione e la validità dell’impianto metrico.