TEST 70 – Stabilità numerica integrazione metrica totale

Scopo del test
Questo test nasce dall’esigenza di garantire che l’integrazione della metrica lungo l’intero arco temporale cosmico sia non solo formalmente definita ma anche numericamente stabile. L’obiettivo era quello di controllare che l’operazione integrale restituisse valori consistenti e riproducibili, che le soluzioni convergessero in maniera ordinata al crescere della risoluzione e che eventuali punti critici di raccordo tra le diverse fasi della funzione non producessero discontinuità o irregolarità. L’intento era dunque quello di accertare che la struttura della funzione non introducesse, neppure in modo nascosto, instabilità locali o globali in grado di compromettere la robustezza del modello.

Descrizione della funzione
La funzione studiata è la rappresentazione metrica che guida la trasformazione del tempo cosmico in redshift. Essa è suddivisa in tre fasi, ciascuna con caratteristiche specifiche ma unite da condizioni di continuità in valore e pendenza nei punti di passaggio. La fase iniziale descrive l’andamento primordiale, con un incremento rapido ma regolare che tende a un limite gestibile senza divergenze. La fase centrale introduce un raccordo dolce costruito in variabile logaritmica, così da addomesticare i gradienti e garantire una transizione fluida. La fase finale riprende un andamento razionale a potenza che domina il lungo intervallo temporale fino all’epoca attuale, ma che resta sempre integrabile e ben condizionato. Questa tripartizione consente di mantenere regolarità formale e continuità numerica fino a ordini derivativi elevati, requisito indispensabile per qualsiasi calcolo integrale esteso.

Metodo di analisi
Per eseguire la verifica è stato suddiviso l’intero intervallo in tre parti corrispondenti alle fasi della funzione, e su ciascun tratto è stata applicata un’integrazione numerica ad alta precisione. Il campionamento complessivo ha raggiunto centomila punti, distribuiti in modo non uniforme: fitto in prossimità dei raccordi per catturare ogni eventuale variazione rapida, più disteso nelle zone a comportamento più regolare. Si è fatto ricorso a più algoritmi di integrazione, in particolare a metodi adattivi in grado di stimare l’errore interno e di fermarsi al raggiungimento di soglie molto stringenti, affiancati da altri approcci indipendenti così da poter confrontare i risultati e ridurre il rischio di errori legati all’algoritmo scelto. Sono state inoltre introdotte trasformazioni di variabile mirate per normalizzare l’andamento in prossimità dei bordi e rendere la funzione più regolare agli occhi del calcolatore. Per controllare la stabilità, oltre alle stime di errore, si è proceduto a un raddoppio del numero di punti e a leggere variazioni dei parametri di raccordo, così da osservare eventuali sensibilità anomale.

Risultati ottenuti
Il comportamento della funzione integrata si è dimostrato regolare in ogni parte del dominio. I tre metodi impiegati hanno restituito valori perfettamente convergenti, con scarti minimi tra loro e sempre entro margini di errore inferiori alla soglia richiesta. I punti di raccordo, che avrebbero potuto rappresentare zone critiche, non hanno generato discontinuità né oscillazioni spurie. Le differenze rilevate nelle verifiche di continuità sono risultate trascurabili e ben al di sotto della soglia numerica di rilevanza. Anche le trasformazioni di variabile hanno svolto il loro ruolo: nella fase iniziale hanno evitato la comparsa di rumore di sottrazione, nella fase intermedia hanno impedito instabilità esponenziali, mentre nella fase finale hanno reso pienamente leggibile la decrescita della funzione senza perdite di informazione. Le prove di raddoppio della griglia hanno confermato la convergenza, mentre le perturbazioni nei parametri hanno prodotto solo variazioni coerenti con la modifica della finestra e non effetti patologici.

Interpretazione scientifica
Il quadro che emerge è quello di una funzione integrabile in modo naturale e stabile, non affetta da fragilità nascoste. La costruzione a tre fasi, lungi dall’essere un artificio numerico, dimostra di possedere un solido equilibrio anche sul piano operativo: la fase iniziale, pur rapida, resta contenuta; la fase intermedia regolarizza i passaggi evitando strappi; la fase finale si estende su tempi lunghissimi ma mantiene un comportamento sempre integrabile. Questo significa che la metrica non solo è valida da un punto di vista teorico, ma può anche essere usata in calcoli pratici, in simulazioni estese e in confronti diretti con dati osservativi senza timore di introdurre artefatti numerici. La regolarità riscontrata è la conferma che l’oggetto integrato riflette una proprietà intrinseca della funzione e non una proiezione dipendente dalla tecnica impiegata.

Esito tecnico finale
Il test è da considerarsi superato. L’integrazione metrica totale ha dimostrato piena stabilità, regolarità e coerenza su tutto l’arco temporale cosmico, rispettando gli standard più elevati di una validazione numerica internazionale.