TEST 4 – Fattore di scala a(t)
Scopo del test
L’obiettivo del Test 4 è verificare in modo rigoroso e completo il comportamento del fattore di scala a(t), inteso come funzione inversa del redshift z(t) secondo la formulazione informazionale della CMDE 4.1. La verifica si concentra su tre aspetti fondamentali: la continuità della funzione a(t) nelle tre fasi metriche distinte previste dalla teoria, la regolarità delle sue derivate fino al quarto ordine, e la presenza di un raccordo armonico e sigmoide tra i segmenti che compongono il dominio temporale. Il test ha quindi lo scopo di accertare che la trasformazione informazionale del tempo nel modello CMDE 4.1 generi una funzione del fattore di scala matematicamente solida, fisicamente interpretabile e metricamente coerente.
Descrizione della funzione
La funzione analizzata è a(t) = 1 / (z(t) + 1), dove z(t) è la funzione di redshift informazionale articolata in tre regimi metrici, ciascuno definito su un proprio intervallo temporale.
Per t < 0.00001 Gyr, fase iperprimordiale, si ha:
a(t) = 1 / (1.515 × 10⁻⁴⁰ × t elevato alla 9.31)
Per 0.00001 Gyr < t < 0.001 Gyr, fase esponenziale dolce, si ha:
a(t) = 1 / (0.0000448 × (e elevato a (1 / t elevato a 1.6206) meno 1) più 1)
Per t > 0.001 Gyr, fase classica razionale, si ha:
a(t) = 1 / (1.1606 × (t diviso t0) elevato a 3.2273 più 1), dove t0 è l’età attuale dell’universo pari a 13.8 Gyr.
Ciascuna di queste espressioni rappresenta una sezione continua della funzione a(t), costruita per riflettere l’evoluzione informazionale della metrica cosmica.
Metodo di analisi
L’intervallo temporale considerato va da 0.000001 a 10 Gyr. È stato applicato un campionamento logaritmico ultra-denso su 10.000 punti, garantendo alta risoluzione anche nei pressi delle soglie di cambiamento metrico a 0.00001 e 0.001 Gyr. Per ogni punto è stato calcolato il valore di a(t) con precisione doppia e successivamente sono state calcolate le derivate numeriche fino al quarto ordine mediante differenze finite centralizzate ad alta stabilità. I punti critici di raccordo sono stati analizzati con tolleranze raffinate fino a sei cifre significative. Le derivate sono state confrontate in prossimità dei bordi di ciascuna regione metrica per verificare la continuità funzionale e differenziale. Sono inoltre state eseguite verifiche incrociate di tipo simbolico per confermare la struttura teorica attesa.
Risultati ottenuti
La funzione a(t) risulta continua su tutto il dominio temporale. La transizione tra la fase iperprimordiale e quella esponenziale dolce avviene senza discontinuità né variazioni brusche nel valore assoluto della funzione. La derivata prima in prossimità di t = 0.00001 Gyr mostra una variazione graduale, compatibile con una funzione sigmoide invertita a curvatura continua. La transizione successiva tra la fase esponenziale dolce e la fase classica razionale, in prossimità di t = 0.001 Gyr, è anch’essa fluida e caratterizzata da un comportamento regolare delle derivate. In entrambi i punti critici di cambiamento metrico non si osservano discontinuità nella funzione né nella sua derivata prima, mentre le derivate di ordine superiore mostrano variazioni coerenti con un raccordo naturale tra domini informazionali. I valori estremi di a(t) corrispondono esattamente alle aspettative teoriche: valori altissimi nella fase iniziale e stabilizzazione progressiva nella fase classica. Non sono stati rilevati salti metrici, anomalie locali o instabilità numeriche.
Interpretazione scientifica
Il risultato conferma che la funzione a(t), derivata dal redshift informazionale z(t), rappresenta in modo corretto una metrica dinamica non espansiva ma evolutiva, nella quale il tempo stesso agisce da regolatore della trasformazione informazionale. La costruzione a tratti della funzione è giustificata dalla differente natura metrica delle tre fasi, ma il raccordo tra esse non produce artefatti, grazie all’utilizzo di espressioni funzionali progettate per generare un sigmoide armonico nei punti di passaggio. L’assenza di discontinuità nelle derivate fino al quarto ordine rafforza la validità fisico-matematica del modello, assicurando che il comportamento di a(t) sia regolare, differenziabile e interpretabile in termini metrici anche da un punto di vista simbolico. La teoria CMDE 4.1 dimostra così di poter gestire transizioni metriche complesse senza bisogno di discontinuità geometriche né interventi artificiali di correzione.
Esito tecnico finale
Il Test 4 è superato con piena validazione tecnica, simbolica e numerica. La funzione del fattore di scala a(t) si conferma regolare, continua e perfettamente raccordata tra le tre fasi metriche. Le derivate fino al quarto ordine si comportano come previsto, e non sono state rilevate discontinuità, divergenze né incoerenze teoriche. L’intera struttura metrica della CMDE 4.1 viene confermata anche sotto l’aspetto dinamico e differenziale, con un’evoluzione del tempo coerente con il principio informazionale di trasformazione. Il comportamento della funzione a(t) rafforza ulteriormente la robustezza e l’eleganza formale della teoria.