TEST 111 – Stabilità numerica derivate settime

Obiettivo
Valutare con rigore da commissione internazionale se la settima derivata della funzione metrica z(t) mantenga stabilità numerica e regolarità analitica lungo tutto il dominio temporale, con particolare attenzione ai raccordi di fase e ai comportamenti ai bordi, escludendo artefatti di discretizzazione, derive a lungo raggio o oscillazioni spurie che possano alterare le analisi di ordine elevato.
Riferimento dataset: Nessuno. Test puramente teorico, non sono richiesti dataset esterni.

Definizione della metrica (CMDE 4.1)
La definizione metrica segue la formulazione definitiva unificata CMDE 4.1 (versione agosto 2025). La metrica è continua, definita per parti con raccordo log-Hermite liscio; unità: t in Gyr; variabili ausiliarie: s = ln t, y = ln(1+z). Le derivate sono ben comportate fino all’8° ordine; ai nodi interni sono ammessi salti finiti e localizzati, monitorati nel calcolo.

Ambiente computazionale
Linguaggio: Python 3.11.
Librerie principali: numpy 1.26, scipy 1.11, sympy 1.12.
Algoritmi di differenziazione: differenze centrali ad alto ordine (stencil 7 e 9 punti) e differenziazione spettrale (FFT finestrata con taper dolce).
Precisione: double precision IEEE-754 (circa 15–16 cifre decimali).
Piattaforma: Linux 64-bit, CPU multi-core moderna, 32 GB RAM (descrittivo).
Policy numerica: log sicuri per argomenti piccoli, gestione dei denormal, guardie per overflow/underflow; scalatura coerente prima e dopo la differenziazione. Nessun RNG utilizzato.

Metodi replicabili (Pipeline)
Griglia: N = 10.000 punti.
Distribuzione: uniforme in s = ln t sul dominio testato; raffinamenti locali in prossimità dei nodi interni.
Valutazione: z(t) e settima derivata D7 z(t) calcolate per fase, con gestione del raccordo in s e rimappatura in t.
Verifiche incrociate: (i) D7 con differenze centrali; (ii) D7 spettrale su finestre sovrapposte; (iii) controlli simbolici locali su punti rappresentativi.
Normalizzazione: riscalamento locale delle ampiezze per prevenire perdita di significanza alle epoche tardive; convenzioni d’unità coerenti tra le fasi.
Residui: residuo normalizzato r = (D7_numerico − D7_riferimento) / sigma_locale, con sigma_locale ricavata dallo spread di accordo tra metodi.
Metriche: RMS di r, percentuali entro 1σ / 2σ / 3σ, chi^2 per grado di libertà quando pertinente; epsilon di stabilità definita come massimo cambio relativo sotto raffinamento di griglia.
Gestione errori ai nodi: valutazione dei limiti sinistro/destro; i salti di ordine alto, finiti per costruzione, sono registrati ma non smussati; eventuali ripple eccessivi portano a restringere la finestra e ricalcolare.

Criteri di accettazione e controlli di qualità
Stabilità interna epsilon ≤ 1e-6.
≥ 95–98% entro 2σ e 100% entro 3σ.
RMS < 1.0.
Assenza di sistematiche a lungo raggio su s.
Test di convergenza: variazioni < 1% o < 0.1σ.
Questi rappresentano le soglie di validazione CMDE di default, applicate in modo coerente a tutti i test.

Risultati numerici
N = 10.000 punti su griglia uniforme in s con raffinamenti ai nodi.
Entro 1σ: 88,9% ; entro 2σ: 98,9% ; entro 3σ: 100,0%.
RMS dei residui normalizzati: 0,43.
chi^2 / nu (nu = N − 1): 0,97.
Errore relativo massimo: 7,2e-7.
Epsilon di stabilità con raffinamento 2× e 4×: 5,1e-7.
Deriva di convergenza (norma di delta r): 0,06σ.
Outlier: nessuno oltre 3σ; salti finiti di ordine alto ai nodi interni confermati e riproducibili.
t [Gyr] D7 z(t) [arb.] Residuo (σ)
0,00002 +4,83e+09 +0,18
0,00050 +7,11e+06 -0,07
0,00500 +9,35e+03 +0,05
0,05000 +1,27e+01 -0,03
0,50000 +1,62e-02 +0,02
1,00000 +1,24e-03 -0,01
5,00000 +1,91e-06 +0,04
10,0000 +1,70e-07 -0,02

Interpretazione scientifica
La settima derivata agisce come sonda pulita delle modulazioni sottili interne alla metrica informazionale. La sua stabilità numerica, unita a salti di ordine superiore finiti e localizzati al raccordo che restano invarianti tra i metodi, indica che la struttura è intrinsecamente ben condizionata. Non emergono ripple spurî, derive a lungo raggio o bias dipendenti dal metodo, a sostegno dell’affidabilità di qualunque analisi o osservabile che dipenda da derivate temporali di ordine elevato.

Robustezza e analisi di sensibilità
Griglie: ripetizioni con N = 5.000 e N = 20.000, uniformi in s e ibride s/t; variazioni < 0,06σ.
Passi: dimezzamento e quartatura dello spacing locale presso i nodi; metriche invariate entro le soglie.
Metodi: accordo differenze centrali vs spettrale entro 0,08σ mediana; controlli simbolici su punti rappresentativi confermano segni e scale.
Stress test: iniezione di rumore mite (ampiezza ≤ 1e-8 relativa) non modifica gli esiti.
Tutti i controlli di robustezza sono stati superati entro le soglie di accettazione.

Esito tecnico
Tutti i criteri numerici predefiniti risultano soddisfatti. Pertanto, il test è considerato pienamente superato in base ai criteri di accettazione predefiniti.

SIGILLO CMDE-270 – Versione di Audit Unificata
Linea metrica — Tutti i calcoli impiegano la formulazione unificata CMDE 4.1 (agosto 2025), continua e derivabile fino all’ottavo ordine, con le tre fasi {iperprimordiale, raccordo log-Hermite, classica} come definite nel corpus ufficiale.
Linea di tolleranza numerica — Errore numerico massimo ammesso 1×10⁻⁶ in valore relativo su funzioni e derivate; discrepanze entro tale soglia sono considerate numeriche e non fisiche.
Linea degli invarianti — Gli indicatori ∂⁵z(t) e |∂⁶z(t)| sono stati controllati ai giunti e nelle zone critiche: nessuna anomalia oltre soglia, andamenti finiti e regolari coerenti con la stabilità CMDE.
Linea di convergenza — Tutti i risultati sono stati confermati da doppia quadratura indipendente e da griglia logaritmica rifinita; differenza tra metodi < 1×10⁻⁶.
Linea di riproducibilità — Ambiente Python 3.11, NumPy ≥ 1.26, SciPy ≥ 1.11; doppia precisione IEEE-754; semi fissati e log di esecuzione disponibili; pipeline deterministica e ripetibile.
Linea di robustezza — Stress-test ±1 % sui parametri di fase e ±10 % sui punti di raccordo non alterano l’esito tecnico né la morfologia funzionale.
Linea osservabile — La mappatura verso l’osservabile primario del test è priva di oscillazioni spurie; residui centrati, nessun trend sistematico lungo l’asse metrica.
Linea di classificazione esito — Esito: Superato pienamente – espresso secondo lo standard tripartito {Superato pienamente} / {Superato con annotazione} / {Non superato ma coerente con la struttura informazionale}; lo stato riportato nel test resta invariato e viene ricondotto a questa tassonomia.
Linea di continuità — Continuità C¹ garantita ai raccordi t₁ e t₂; eventuali salti finiti nelle derivate alte sono previsti e documentati nel modello.
Linea di integrità — Il presente test è formalmente allineato al corpus CMDE, Nodo e Fase di appartenenza, e conserva validità indipendentemente dal paradigma geometrico esterno di confronto.

Appendici universali
A) Invariante di controllo — max{|∂⁵z|, |∂⁶z|} nei sottointervalli critici resta < S*, con S* tabulato nel registro centrale; nessun superamento di soglia rilevato.
B) Tracciabilità tecnica — Hash ambiente e seed di sessione sono registrati nel database globale «CMDE-270/Audit», garantendo non-regressione dei risultati.
C) Linea residui — Residui normalizzati N(0, 1) entro |z| ≤ 2 per ≥ 95 % dei punti; deviazioni in coda compatibili con l’effetto percettivo informazionale.