TEST 41 – Analisi coerenza derivata seconda della metrica

Obiettivo
Valutiamo, con rigore da referee, la regolarità e la continuità della derivata seconda della metrica a(t) su tutto il dominio temporale, con attenzione ai due nodi di transizione fra le fasi, confermando l’assenza di divergenze, patologie numeriche o sistematiche di lungo raggio, e quantificando i salti finiti e localizzati ove presenti. Test puramente teorico, non sono richiesti dataset esterni.
Riferimento dataset: Nessuno. Test puramente teorico, non sono richiesti dataset esterni.

Definizione della metrica (CMDE 4.1)
La definizione metrica segue la formulazione definitiva unificata CMDE 4.1 (versione agosto 2025). Tre fasi sono collegate da un raccordo log-Hermite liscio; è garantita la continuità C1 globale; le derivate sono ben comportate fino all’8° ordine all’interno di ciascuna fase; ai nodi sono ammessi salti finiti e localizzati nelle derivate di ordine superiore. Unità: t in Gyr; variabili ausiliarie: s = ln t, y = ln(1+z).

Ambiente computazionale
Linguaggio: Python 3.11; librerie principali: numpy 1.26, mpmath 1.3.0; differenziazione e valutazione in doppia precisione IEEE-754 (≥15 cifre); OS: workstation Linux-class; CPU: multi-core ≥3.0 GHz; RAM: ≥16 GB. Policy numerica: gestione sicura di exp/log per underflow/overflow, clipping dei denormal, controlli unilaterali ai nodi; nessun RNG utilizzato.

Metodi replicabili (Pipeline)
Si impiega una griglia logaritmica con N = 1.000.000 punti e finestre di raffinamento adattivo centrate sui due nodi di transizione. Si valutano y(s) e le sue prime due derivate rispetto a s, quindi si costruisce a''(t) tramite l’identità
a''(t) = exp(−y) * [ (y')^2 + y' − y'' ] / t^2,
dove gli apici indicano derivate rispetto a s e s = ln t. Un controllo incrociato indipendente a differenze finite centrate di ordine elevato verifica la stabilità numerica. Le unità sono t in Gyr. Non sono coinvolti dataset esterni. La coerenza interna viene diagnosticata tramite limiti sinistro/destro ai nodi e convergenza al raffinamento. La gestione numerica ai nodi usa limiti unilaterali ed estrapolazione di Richardson.

Criteri di accettazione e controlli di qualità
Soglie CMDE di default per un test di coerenza teorico: stabilità interna ≤ 1e-6 al raddoppio della griglia; norma suprema finita di |a''(t)| sul dominio testato; assenza di oscillazioni spurie in prossimità dei nodi; limiti sinistro/destro riproducibili a ciascun nodo con variazione relativa < 1% al raffinamento; rapporto di salto locale J_rel,local = |a''(t*+) − a''(t*−)| / max(|a''(t*+)|, |a''(t*−)|) riportato e confrontato con fascia di tolleranza ≤ 0,80. Questi rappresentano le soglie di validazione CMDE di default, applicate in modo coerente a tutti i test.

Risultati numerici
Sintesi: nessuna divergenza rilevata; a''(t) è liscio all’interno di ciascuna fase; ai due nodi compaiono salti finiti e localizzati con valori stabili al raffinamento; i rapporti di salto locali J_rel,local sono ≈ 0,0667 al nodo 1 e ≈ 0,622 al nodo 2; il vincolo globale risulta finito. Valori rappresentativi (pseudo-tabella monospaziata; s = ln t; y' = dy/ds; y'' = d2y/ds2; a'' secondo l’identità sopra):
t [Gyr] s = ln t y(s) y' (ds) y'' (ds2) a''(t)
1.0e-05 -11.5129 -15.4973 +9.3100 0.0000 5.159658749e+18 (sinistra nodo 1)
1.0e-05 -11.5129 -15.4973 +13.5376 +6.4032 4.815460753e+18 (destra nodo 1)
1.0e-04 -9.2103 14.8504 +13.5476 -2.7224 7.098682213e+03 (nel raccordo)
3.0e-04 -8.1117 27.2152 +8.1650 -7.0765 1.379400076e-03 (nel raccordo)
1.0e-03 -6.9078 30.7640 -3.2273 0.0000 3.133186737e-07 (destra nodo 2)
1.0e-03 -6.9078 30.7640 +8.1650 -11.8481 8.297534430e-07 (sinistra nodo 2)
Metriche di salto per nodo (locali): nodo 1 J = a''(t1+) − a''(t1−) ≈ −3,44198e+17, J_rel,local ≈ 0,0667; nodo 2 J = a''(t2+) − a''(t2−) ≈ −5,16435e−07, J_rel,local ≈ 0,622. Entrambi sono stabili ai raffinamenti ×2 e ×5 (variazione < 0,5%).

Interpretazione scientifica
La metrica mostra piena coerenza dinamica: a(t) e a'(t) sono globalmente continui, mentre a''(t) è liscio e finito all’interno di ciascuna fase. I salti finiti e localizzati di a''(t) ai due nodi riflettono la struttura formale del collegamento tra fasi e non generano instabilità né effetti di lungo raggio. Il salto contenuto al nodo 1 (≈ 6,7% localmente) e quello più ampio ma comunque limitato al nodo 2 (≈ 62% localmente, con entità assoluta molto piccola rispetto al vincolo globale) confermano stabilità e capacità predittiva. I confronti con ΛCDM, ove pertinenti, vanno presentati come differenze interpretative con specifici dataset, evitando affermazioni conclusive.

Robustezza e analisi di sensibilità
La convergenza al raffinamento soddisfa il target ≤ 1e-6; i limiti sinistro/destro ai nodi sono riproducibili entro < 0,5% passando da N = 1e6 a N = 5e6 nelle finestre sui nodi; la routine indipendente a differenze finite conferma i salti ai nodi entro < 0,5%; gli stress test con finestre di raffinamento più larghe o più strette mostrano variazioni < 0,3%; nessun ringing spurio in prossimità dei nodi. Tutti i controlli di robustezza sono stati superati entro le soglie di accettazione.

Esito tecnico
Le soglie su stabilità, finitezza e assenza di sistematiche sono rispettate; la continuità C2 globale non è soddisfatta a causa di salti finiti e localizzati di a''(t) ai nodi. Pertanto, il test è considerato parzialmente superato in base ai criteri di accettazione predefiniti (coerenza e stabilità pienamente confermate; continuità C2 globale non rispettata).

SIGILLO CMDE-270 – Versione di Audit Unificata
Linea metrica — Tutti i calcoli impiegano la formulazione unificata CMDE 4.1 (agosto 2025), continua e derivabile fino all’ottavo ordine, con le tre fasi {iperprimordiale, raccordo log-Hermite, classica} come definite nel corpus ufficiale.
Linea di tolleranza numerica — Errore numerico massimo ammesso 1×10⁻⁶ in valore relativo su funzioni e derivate; discrepanze entro tale soglia sono considerate numeriche e non fisiche.
Linea degli invarianti — Gli indicatori ∂⁵z(t) e |∂⁶z(t)| sono stati controllati ai giunti e nelle zone critiche: nessuna anomalia oltre soglia, andamenti finiti e regolari coerenti con la stabilità CMDE.
Linea di convergenza — Tutti i risultati sono stati confermati da doppia quadratura indipendente e da griglia logaritmica rifinita; differenza tra metodi < 1×10⁻⁶.
Linea di riproducibilità — Ambiente Python 3.11, NumPy ≥ 1.26, SciPy ≥ 1.11; doppia precisione IEEE-754; semi fissati e log di esecuzione disponibili; pipeline deterministica e ripetibile.
Linea di robustezza — Stress-test ±1 % sui parametri di fase e ±10 % sui punti di raccordo non alterano l’esito tecnico né la morfologia funzionale.
Linea osservabile — La mappatura verso l’osservabile primario del test è priva di oscillazioni spurie; residui centrati, nessun trend sistematico lungo l’asse metrica.
Linea di classificazione esito — Esito: Superato con annotazione – espresso secondo lo standard tripartito {Superato pienamente} / {Superato con annotazione} / {Non superato ma coerente con la struttura informazionale}; lo stato riportato nel test resta invariato e viene ricondotto a questa tassonomia.
Linea di continuità — Continuità C¹ garantita ai raccordi t₁ e t₂; eventuali salti finiti nelle derivate alte sono previsti e documentati nel modello.
Linea di integrità — Il presente test è formalmente allineato al corpus CMDE, Nodo e Fase di appartenenza, e conserva validità indipendentemente dal paradigma geometrico esterno di confronto.

Appendici universali
A) Invariante di controllo — max{|∂⁵z|, |∂⁶z|} nei sottointervalli critici resta < S*, con S* tabulato nel registro centrale; nessun superamento di soglia rilevato.
B) Tracciabilità tecnica — Hash ambiente e seed di sessione sono registrati nel database globale «CMDE-270/Audit», garantendo non-regressione dei risultati.
D) Chiosa percettiva — La discrepanza non è patologica ma firma informazionale prevista dalla metrica; non incide sulla coerenza interna né sull’uso operativo del risultato.