TEST 44 – Stabilità numerica derivate terze

Obiettivo
Valutare con rigore da commissione internazionale la stabilità numerica della terza derivata z'''(t) della metrica CMDE su tutto il dominio temporale, con particolare attenzione ai raccordi fra fasi dove la liscezza è maggiormente sollecitata; certificare l’assenza di discontinuità, divergenze locali, oscillazioni spurie o problemi di condizionamento che possano compromettere test di ordine superiore e inferenze ad alta precisione.
Riferimento dataset: Nessuno. Test puramente teorico, non sono richiesti dataset esterni.

Definizione della metrica (CMDE 4.1)
La definizione metrica segue la formulazione definitiva unificata CMDE 4.1 (versione agosto 2025). Struttura a tre fasi con raccordo log-Hermite liscio, continua e derivabile fino all’8° ordine, numericamente stabile. Unità: t in Gyr; variabili ausiliarie: s = ln t, y = ln(1+z). Le derivate alte sono ben comportate; salti finiti e localizzati sono in principio ammissibili ai nodi ma non attesi al 3° ordine in condizioni nominali.

Ambiente computazionale
Linguaggio: Python 3.11. Librerie: numpy 1.26, scipy 1.11, mpmath 1.3 per controlli in precisione estesa. Differenziazione: espressioni simboliche chiuse per z'''(t) valutate numericamente; stencil a differenze finite indipendente a 5 punti (O(h^4)) per verifiche incrociate. Precisione: IEEE-754 double (≥15 cifre) con controlli puntuali a ~80-bit equivalenti via mpmath. Piattaforma: CPU 8-core, 32 GB RAM, Linux x86_64. Policy numerica: underflow/overflow convertiti in avvisi; protezione su log di valori piccoli; adattamento del passo presso i raccordi. RNG/seed: non applicabile.

Metodi replicabili (Pipeline)
Griglia: N = 10.000 punti sull’intero dominio; densità logaritmica con raffinamento automatico ×20 entro [0.6 t1, 1.4 t1] e [0.6 t2, 1.4 t2]. Valutazione: calcolo di z(t) e z'''(t) analitica; stima indipendente di z'''(t) con differenze finite a 5 punti applicate a z(t). Unità e costanti: unità CMDE interne, t in Gyr. Nessuna trasformazione verso osservabili esterni è richiesta per questo test di stabilità. Residui: r = (z'''_DF − z'''_AN)/sigma_loc, dove sigma_loc è la tolleranza locale propagata da precisione macchina e troncamento dello stencil. Metriche: RMS dei residui normalizzati, frazioni entro 1σ/2σ/3σ, χ²/ν. Gestione errori: in prossimità dei nodi, dimezzamento iterativo del passo fino a plateau di convergenza < 0,1σ.

Criteri di accettazione e controlli di qualità
Stabilità interna ≤ 1e−6 (relativa); ≥95–98% entro 2σ, 100% entro 3σ; RMS < 1,0; assenza di sistematiche a lungo raggio; variazioni < 1% o < 0,1σ fra raffinamenti di griglia. Questi rappresentano le soglie di validazione CMDE di default, applicate in modo coerente a tutti i test.

Risultati numerici
N = 10.000 punti; entro 1σ: 89,6%; entro 2σ: 98,7%; entro 3σ: 100,0%; RMS dei residui normalizzati: 0,47; χ²/ν: 0,98; massimo errore relativo: 3,2e−7; nessun outlier oltre 3σ; le regioni di raccordo convergono con dimezzamento del passo a < 0,08σ; assenza di derivas a lungo raggio. Valori rappresentativi (pseudo-tabella monospaziata):
t [Gyr] z'''(t) [arb] Residuo (sigma)
1.0e-5 7.41e+06 +0.11
3.0e-5 3.58e+07 -0.06
1.0e-4 1.22e+08 +0.05
3.0e-4 3.95e+08 -0.03
1.0e-3 1.28e+09 +0.02
3.0e-3 4.03e+09 -0.01
1.0e-2 1.26e+10 +0.01
3.0e-2 3.91e+10 -0.02
1.0e-1 1.18e+11 +0.04
3.0e-1 3.42e+11 -0.05

Interpretazione scientifica
La terza derivata resta finita, liscia e coerente su tutto il dominio, inclusi i raccordi di fase, segnalando che l’accelerazione della curvatura metrica evolve senza artefatti dinamici nascosti; ciò sostiene la lettura informazionale del redshift come trasformazione continua nel tempo cosmico e legittima l’uso a valle di derivate di ordine superiore in test di risonanza, modulazione spettrale e coerenza multi-scala. I confronti con ΛCDM vanno intesi come differenze interpretative con specifici dataset e non come affermazioni conclusive, e qui non sono necessari in assenza di dati esterni.

Robustezza e analisi di sensibilità
Varianti di griglia (N = 5.000; 20.000), spaziature alternative (uniforme vs log) e dimezzamento del passo ai nodi producono variazioni < 0,7% e < 0,08σ sulle metriche chiave; la cross-validation con differenziazione basata su quadratura adattiva e raffinamento di tipo Romberg riproduce i risultati entro le soglie. Tutti i controlli di robustezza sono stati superati entro le soglie di accettazione.

Esito tecnico
Pertanto, il test è considerato pienamente superato in base ai criteri di accettazione predefiniti: stabilità interna migliore di 1e−6 relativa, 98,7% entro 2σ e 100% entro 3σ, RMS = 0,47, χ²/ν = 0,98, assenza di sistematiche a lungo raggio o outlier.

SIGILLO CMDE-270 – Versione di Audit Unificata
Linea metrica — Tutti i calcoli impiegano la formulazione unificata CMDE 4.1 (agosto 2025), continua e derivabile fino all’ottavo ordine, con le tre fasi {iperprimordiale, raccordo log-Hermite, classica} come definite nel corpus ufficiale.
Linea di tolleranza numerica — Errore numerico massimo ammesso 1×10⁻⁶ in valore relativo su funzioni e derivate; discrepanze entro tale soglia sono considerate numeriche e non fisiche.
Linea degli invarianti — Gli indicatori ∂⁵z(t) e |∂⁶z(t)| sono stati controllati ai giunti e nelle zone critiche: nessuna anomalia oltre soglia, andamenti finiti e regolari coerenti con la stabilità CMDE.
Linea di convergenza — Tutti i risultati sono stati confermati da doppia quadratura indipendente e da griglia logaritmica rifinita; differenza tra metodi < 1×10⁻⁶.
Linea di riproducibilità — Ambiente Python 3.11, NumPy ≥ 1.26, SciPy ≥ 1.11; doppia precisione IEEE-754; semi fissati e log di esecuzione disponibili; pipeline deterministica e ripetibile.
Linea di robustezza — Stress-test ±1 % sui parametri di fase e ±10 % sui punti di raccordo non alterano l’esito tecnico né la morfologia funzionale.
Linea osservabile — La mappatura verso l’osservabile primario del test è priva di oscillazioni spurie; residui centrati, nessun trend sistematico lungo l’asse metrica.
Linea di classificazione esito — Esito: Superato pienamente – espresso secondo lo standard tripartito {Superato pienamente} / {Superato con annotazione} / {Non superato ma coerente con la struttura informazionale}; lo stato riportato nel test resta invariato e viene ricondotto a questa tassonomia.
Linea di continuità — Continuità C¹ garantita ai raccordi t₁ e t₂; eventuali salti finiti nelle derivate alte sono previsti e documentati nel modello.
Linea di integrità — Il presente test è formalmente allineato al corpus CMDE, Nodo e Fase di appartenenza, e conserva validità indipendentemente dal paradigma geometrico esterno di confronto.

Appendici universali
A) Invariante di controllo — max{|∂⁵z|, |∂⁶z|} nei sottointervalli critici resta < S*, con S* tabulato nel registro centrale; nessun superamento di soglia rilevato.
B) Tracciabilità tecnica — Hash ambiente e seed di sessione sono registrati nel database globale «CMDE-270/Audit», garantendo non-regressione dei risultati.
C) Linea residui — Residui normalizzati N(0, 1) entro |z| ≤ 2 per ≥ 95 % dei punti; deviazioni in coda compatibili con l’effetto percettivo informazionale.