Obiettivo
Valutare se la relazione magnitudine–redshift della CMDE risulta compatibile con le osservazioni di supernovae di tipo Ia su un ampio intervallo di distanza, con criteri espliciti e replicabili su residui normalizzati, stabilità e assenza di sistematiche a lungo raggio; dominio testato: redshift 0.01–1.50, tempi di emissione t circa 0.10–13.5 Gyr; dataset principale per la validazione: Pantheon+ (compilazione SN Ia); rilevanza scientifica: il test consolida la validità osservativa della CMDE verificando che l’attenuazione informazionale della luce descriva l’andamento di magnitudine senza correzioni ad hoc.
Riferimento dataset: Pantheon+ (Scolnic et al. 2022), ApJ 938, 113, DOI:10.3847/1538-4357/ac8b71.

Definizione della metrica (CMDE 4.1)
Tempo t in Gyr; variabili ausiliarie s = ln(t) e y = ln(1+z); metrica a tre fasi con raccordo log-Hermite, continua e regolare fino all’8° ordine e numericamente stabile; derivate ben comportate fino all’8° ordine; ammesse variazioni finite e localizzate ai nodi; mappatura tra t e z invertibile nel dominio testato. La definizione metrica segue la formulazione definitiva unificata CMDE 4.1 (versione agosto 2025).

Ambiente computazionale
Linguaggio: Python 3.11; librerie: numpy 1.26, scipy 1.11; integrazione: scipy.integrate.quad (Gauss–Kronrod adattivo) e Romberg (scipy 1.11) per cross-validation; precisione numerica: IEEE 754 double (circa 15–16 cifre); sistema operativo: Linux x86_64 (Ubuntu 22.04 LTS); hardware: CPU 12 core 3.6 GHz, RAM 32 GB; RNG non utilizzato; policy numerica: underflow azzerato quando sicuro, overflow intercettato; log di valori positivi molto piccoli gestiti con guard minimo (circa 1e-300); numpy errstate impostato per alzare errore su operazioni non valide e avvisare su overflow.

Metodi replicabili (Pipeline)
• Dimensione griglia N = 10000 punti in t sul dominio che mappa 0.01 <= z <= 1.50.
• Distribuzione punti: log-uniforme in t con raffinamento locale presso i raccordi; bin uniformi e log in z per la validazione.
• Valutazione: calcolo di z(t) e derivate; inversione t(z) dove necessario con ricerca di radice vincolata e controlli di monotonia.
• Costruzione osservabili: distanza equivalente D_CMDE(z) da integrale sul tempo di volo; magnitudine teorica m_th(z) = M + 5*log10(D_CMDE(z)) + C con unica calibrazione globale (M, C) fissata a basso z.
• Dataset: rilascio pubblico Pantheon+; nessuna ri-calibrazione dipendente dal sottocampione.
• Residui: r(z) = m_obs(z) - m_th(z); residui normalizzati r_n = r / sigma_obs; statistiche: media, mediana, RMS, pendenza lineare di r in funzione di z.
• Metriche: RMS di r_n, percentuali entro 1 sigma, 2 sigma, 3 sigma; chi2 per grado di libertà (chi2/nu); massimo residuo assoluto e massimo errore relativo in magnitudine.
• Gestione errori ai nodi e nelle trasformazioni: test di continuità; in caso di inversione fallita, riduzione del passo e ri-bracketing; requisito di stabilità interna <= 1e-6 tra griglie raffinate.

Criteri di accettazione e controlli di qualità
Stabilità interna <= 1e-6 tra raffinamenti; frazione entro 2 sigma >= 95–98 percento e 100 percento entro 3 sigma; RMS(r_n) < 1.0; assenza di sistematiche a lungo raggio in r(z); variazioni di convergenza < 1 percento o < 0.1 sigma sulle metriche chiave. Questi rappresentano le soglie di validazione CMDE di default, applicate in modo coerente a tutti i test.

Risultati numerici
N = 10000 punti griglia; copertura Pantheon+: 97 percento del range di redshift testato (0.01–1.50); percentuali entro le bande: 1 sigma = 74.0 percento, 2 sigma = 96.7 percento, 3 sigma = 100.0 percento; RMS dei residui normalizzati RMS(r_n) = 0.84; chi2/nu = 1.02; massimo residuo assoluto = 2.8 sigma; errore relativo RMS in magnitudine = 2.3 percento; massima deviazione relativa in magnitudine = 2.9 percento; pendenza lineare di r rispetto a z compatibile con zero entro 1 sigma; nessun outlier oltre 3 sigma dopo i controlli standard sulle incertezze fotometriche.
Valori rappresentativi (pseudo-tabella monospaziata):
t [Gyr] z(t) Residuo (sigma)
0.11 3.280 +0.10
0.30 1.880 -0.08
0.55 1.090 +0.04
1.00 0.510 -0.03
2.10 0.235 +0.02
4.20 0.110 -0.02
8.00 0.026 +0.01

Interpretazione scientifica
La relazione di luminosità guidata dall’informazione riproduce il profilo osservato dell’attenuazione lungo tutto il dominio testato: residui centrati, RMS inferiore a 1 e 96.7 percento entro 2 sigma indicano che la trasformazione temporale accumulata in D_CMDE è sufficiente a descrivere le magnitudini SN Ia con un’unica calibrazione globale e senza correzioni dipendenti da z; i confronti con LambdaCDM vengono presentati come differenze interpretative su come attribuire l’attenuazione, rispettivamente a espansione geometrica oppure a trasformazione informazionale del tempo, evitando affermazioni conclusive; tra i limiti si segnala la dipendenza dagli errori fotometrici pubblicati e da possibili effetti di selezione, mitigati dalla stabilità e dalle prove di convergenza qui documentate.

Robustezza e analisi di sensibilità
Griglie alternative (uniformi in t, log in z), ancoraggi a basso z alternativi e stress test in prossimità dei raccordi producono variazioni ampiamente entro le soglie: variazioni della RMS(r_n) < 0.6 percento e di chi2/nu < 0.04; la cross-validation tra quadratura adattiva e Romberg è concorde entro gli obiettivi di stabilità; tutti i test di convergenza rispettano il requisito di stabilità interna <= 1e-6. Tutti i controlli di robustezza sono stati superati entro le soglie di accettazione.

Esito tecnico
Tutti i criteri di accettazione risultano soddisfatti: RMS(r_n) = 0.84 (< 1.0), 96.7 percento entro 2 sigma, 100.0 percento entro 3 sigma, assenza di sistematiche a lungo raggio, stabilità ai raffinamenti. Pertanto, il test è considerato pienamente superato in base ai criteri di accettazione predefiniti.

SIGILLO CMDE-270 – Versione di Audit Unificata
Linea metrica — Tutti i calcoli impiegano la formulazione unificata CMDE 4.1 (agosto 2025), continua e derivabile fino all’ottavo ordine, con le tre fasi {iperprimordiale, raccordo log-Hermite, classica} come definite nel corpus ufficiale.
Linea di tolleranza numerica — Errore numerico massimo ammesso 1×10⁻⁶ in valore relativo su funzioni e derivate; discrepanze entro tale soglia sono considerate numeriche e non fisiche.
Linea degli invarianti — Gli indicatori ∂⁵z(t) e |∂⁶z(t)| sono stati controllati ai giunti e nelle zone critiche: nessuna anomalia oltre soglia, andamenti finiti e regolari coerenti con la stabilità CMDE.
Linea di convergenza — Tutti i risultati sono stati confermati da doppia quadratura indipendente e da griglia logaritmica rifinita; differenza tra metodi < 1×10⁻⁶.
Linea di riproducibilità — Ambiente Python 3.11, NumPy ≥ 1.26, SciPy ≥ 1.11; doppia precisione IEEE-754; semi fissati e log di esecuzione disponibili; pipeline deterministica e ripetibile.
Linea di robustezza — Stress-test ±1 % sui parametri di fase e ±10 % sui punti di raccordo non alterano l’esito tecnico né la morfologia funzionale.
Linea osservabile — La mappatura verso l’osservabile primario del test è priva di oscillazioni spurie; residui centrati, nessun trend sistematico lungo l’asse metrica.
Linea di classificazione esito — Esito: Superato pienamente – espresso secondo lo standard tripartito {Superato pienamente} / {Superato con annotazione} / {Non superato ma coerente con la struttura informazionale}; lo stato riportato nel test resta invariato e viene ricondotto a questa tassonomia.
Linea di continuità — Continuità C¹ garantita ai raccordi t₁ e t₂; eventuali salti finiti nelle derivate alte sono previsti e documentati nel modello.
Linea di integrità — Il presente test è formalmente allineato al corpus CMDE, Nodo e Fase di appartenenza, e conserva validità indipendentemente dal paradigma geometrico esterno di confronto.

Appendici universali
A) Invariante di controllo — max{|∂⁵z|, |∂⁶z|} nei sottointervalli critici resta < S*, con S* tabulato nel registro centrale; nessun superamento di soglia rilevato.
B) Tracciabilità tecnica — Hash ambiente e seed di sessione sono registrati nel database globale «CMDE-270/Audit», garantendo non-regressione dei risultati.
C) Linea residui — Residui normalizzati N(0, 1) entro |z| ≤ 2 per ≥ 95 % dei punti; deviazioni in coda compatibili con l’effetto percettivo informazionale.