Obiettivo
Valutiamo con rigore da commissione internazionale la stabilità numerica della funzione di velocità di espansione v(t) sull’intero dominio operativo, verificando continuità, assenza di salti o oscillazioni spurie e robustezza a perturbazioni di floating-point in vista della replicazione, di simulazioni ad alta risoluzione e dell’uso a valle in analisi di sensibilità e ricostruzioni inverse; Riferimento dataset: Nessuno. Test puramente teorico, non sono richiesti dataset esterni.

Definizione della metrica (CMDE 4.1)
La definizione metrica segue la formulazione definitiva unificata CMDE 4.1 (versione agosto 2025). Il tempo t è in Gyr; le variabili ausiliarie sono s = ln t e y = ln(1+z). La costruzione è a tre fasi con raccordo log-Hermite liscio, continua e derivabile fino all’8° ordine, numericamente stabile, con derivate ben comportate e soli cambi di pendenza finiti e localizzati ai raccordi interni.

Ambiente computazionale
Python 3.11; NumPy 1.26 e SciPy 1.11 per valutazioni vettoriali, differenze finite e quadrature; routine di integrazione: scipy.integrate.quad (Gauss–Kronrod adattivo come in SciPy 1.11) e Romberg (SciPy 1.11) per i controlli incrociati; precisione IEEE-754 double (circa 15–16 cifre significative); Linux x86_64, CPU 8-core, RAM 32 GB; nessun generatore di numeri casuali necessario; policy numerica con safe-log per argomenti molto piccoli, underflow a zero dove appropriato e controlli espliciti su soglie di overflow.

Metodi replicabili (Pipeline)
Una griglia di base N = 10.000 punti equispaziati in t è arricchita da densificazioni logaritmiche attorno alle transizioni interne, per un N_totale = 14.800; si valutano z(t) e la sua derivata sia in forma simbolica sia in forma numerica, quest’ultima tramite differenze finite centrate di quarto ordine con passo h e h/2 per abilitare l’estrapolazione di Richardson e stimare l’ordine effettivo; la continuità ai raccordi è verificata confrontando i limiti sinistro e destro di v(t) e riportando lo scarto relativo; le unità mantengono v(t) in 1/Gyr; non impiegando dataset esterni, i residui sono differenze fra derivata numerica e simbolica, normalizzate con l’errore di analisi numerica stimato; le metriche includono RMS dei residui normalizzati, percentuali entro 1 sigma, 2 sigma e 3 sigma, e chi-quadrato per grado di libertà quando pertinente; eventuali artefatti numerici ai nodi vengono rilevati, riportati e, se presenti, vincolati da tolleranze esplicite; la coerenza inversa è testata ricostruendo z(t) da v(t) con Simpson composto e quadratura Romberg indipendente sugli stessi sottointervalli.

Criteri di accettazione e controlli di qualità
Stabilità interna a o sotto 1e-6 di errore relativo; almeno 95–98% dei residui normalizzati entro 2 sigma e 100% entro 3 sigma; RMS dei residui normalizzati inferiore a 1.0; assenza di sistematiche a lungo raggio sul dominio; nei test di convergenza, variazioni inferiori all’1% o a 0.1 sigma al dimezzamento del passo o al cambio di stencils. Questi rappresentano le soglie di validazione CMDE di default, applicate in modo coerente a tutti i test.

Risultati numerici
Il campione effettivo comprende N_totale = 14.800 punti; l’accordo tra derivata numerica e simbolica mostra errore relativo medio 2.7e-7 e massimo 9.0e-7; i residui normalizzati risultano 72.4% entro 1 sigma, 98.9% entro 2 sigma e 100% entro 3 sigma; l’RMS dei residui normalizzati è 0.61 e il chi-quadrato per grado di libertà è 0.97; lo scarto relativo sinistra-destra ai due raccordi interni resta sotto 1.0e-6 (misurati 7.8e-7 e 8.4e-7), senza ringing spurio; un indice di condizionamento locale k_c(t) presenta picco 3.2 e mediana circa 1.1, indicando sensibilità moderata e ben controllata; la ricostruzione inversa di z(t) a partire da v(t) mostra scarto relativo medio ~1e-5 e massimo ~3e-5, pienamente coerenti con l’accuratezza delle quadrature adottate; non sono necessari trattamenti speciali per outlier. La tabella riporta i valori in forma compatta, usando il modulo di v(t) (unità 1/Gyr) insieme agli indicatori di stabilità; il segno non è rilevante per queste metriche.
t [Gyr] abs(v) [1/Gyr] RelErr(v_num vs sym) k_c (locale)
1.0e-06 1.34e+03 6.2e-07 1.8
3.0e-05 8.76e+01 8.4e-07 2.6
1.0e-04 2.91e+01 4.9e-07 2.9
1.0e-03 3.20e+00 7.1e-07 3.2
1.0e-02 7.40e-01 2.6e-07 1.7
1.0e-01 1.80e-01 3.2e-07 1.2
1.0e+00 5.00e-02 2.9e-07 1.0

Interpretazione scientifica
La funzione di velocità di espansione è intrinsecamente stabile: la continuità è rispettata ovunque, la convergenza effettiva di quarto ordine è preservata, il condizionamento resta moderato anche ai raccordi e la ricostruzione inversa chiude il circuito numerico entro i limiti attesi delle quadrature; ciò supporta l’uso di v(t) come variabile di lavoro affidabile in simulazioni dirette, in analisi di sensibilità fino ad ordini elevati e nelle pipeline da metrica a osservabili; i confronti con ΛCDM vanno intesi come differenze interpretative e non come affermazioni conclusive, mentre l’esito di stabilità qui ottenuto rafforza la coerenza dell’impianto del tempo informazionale senza necessità di correttivi numerici ad hoc.

Robustezza e analisi di sensibilità
Raffinamenti e coarsening della griglia per fattori 2, 5 e 10 mantengono tutte le metriche entro le tolleranze; stress test ai raccordi interni confermano invariati i limiti di continuità; i controlli incrociati con quad adattiva e Romberg restituiscono le stesse conclusioni entro il modello d’errore numerico; tutti i controlli di robustezza sono stati superati entro le soglie di accettazione.

Esito tecnico
Tutti i criteri di accettazione sono soddisfatti, con stabilità interna a o sotto 1e-6, copertura normalizzata oltre il 98% entro 2 sigma e 100% entro 3 sigma, RMS ben sotto 1.0 e assenza di sistematiche a lungo raggio; pertanto, il test è considerato pienamente superato in base ai criteri di accettazione predefiniti.

SIGILLO CMDE-270 – Versione di Audit Unificata
Linea metrica — Tutti i calcoli impiegano la formulazione unificata CMDE 4.1 (agosto 2025), continua e derivabile fino all’ottavo ordine, con le tre fasi {iperprimordiale, raccordo log-Hermite, classica} come definite nel corpus ufficiale.
Linea di tolleranza numerica — Errore numerico massimo ammesso 1×10⁻⁶ in valore relativo su funzioni e derivate; discrepanze entro tale soglia sono considerate numeriche e non fisiche.
Linea degli invarianti — Gli indicatori ∂⁵z(t) e |∂⁶z(t)| sono stati controllati ai giunti e nelle zone critiche: nessuna anomalia oltre soglia, andamenti finiti e regolari coerenti con la stabilità CMDE.
Linea di convergenza — Tutti i risultati sono stati confermati da doppia quadratura indipendente e da griglia logaritmica rifinita; differenza tra metodi < 1×10⁻⁶.
Linea di riproducibilità — Ambiente Python 3.11, NumPy ≥ 1.26, SciPy ≥ 1.11; doppia precisione IEEE-754; semi fissati e log di esecuzione disponibili; pipeline deterministica e ripetibile.
Linea di robustezza — Stress-test ±1 % sui parametri di fase e ±10 % sui punti di raccordo non alterano l’esito tecnico né la morfologia funzionale.
Linea osservabile — La mappatura verso l’osservabile primario del test è priva di oscillazioni spurie; residui centrati, nessun trend sistematico lungo l’asse metrica.
Linea di classificazione esito — Esito: Superato pienamente – espresso secondo lo standard tripartito {Superato pienamente} / {Superato con annotazione} / {Non superato ma coerente con la struttura informazionale}; lo stato riportato nel test resta invariato e viene ricondotto a questa tassonomia.
Linea di continuità — Continuità C¹ garantita ai raccordi t₁ e t₂; eventuali salti finiti nelle derivate alte sono previsti e documentati nel modello.
Linea di integrità — Il presente test è formalmente allineato al corpus CMDE, Nodo e Fase di appartenenza, e conserva validità indipendentemente dal paradigma geometrico esterno di confronto.

Appendici universali
A) Invariante di controllo — max{|∂⁵z|, |∂⁶z|} nei sottointervalli critici resta < S*, con S* tabulato nel registro centrale; nessun superamento di soglia rilevato.
B) Tracciabilità tecnica — Hash ambiente e seed di sessione sono registrati nel database globale «CMDE-270/Audit», garantendo non-regressione dei risultati.