SPECIFICA
La CMDE 4.1 definisce una metrica informazionale del redshift cosmologico tramite una funzione z(t) costruita come trasformazione irreversibile dell’informazione della luce nel tempo cosmico. Questa sezione stabilisce la forma canonica unica di riferimento (“CMDE 4.1 definitiva – agosto 2025”) da usare invariata in tutte le pubblicazioni, validazioni e implementazioni numeriche.
Dominio e unità
Dominio: t > 0. Unità: t espresso in Gyr (gigayears). Convenzione operativa: quando t è inserito come valore numerico, si intende espresso in Gyr. La variabile logaritmica è definita in forma adimensionale come s = ln(t/1 Gyr). Se compare la scrittura ln(t), essa va intesa come ln(t/1 Gyr) sotto la convenzione “t numerico in Gyr”.
Variabili e costanti
t è il tempo cosmologico (in Gyr). z(t) è il redshift informazionale. t₀ è la costante di riferimento (in Gyr) associata all’epoca di normalizzazione a redshift nullo, definita semanticamente dalla condizione z(t₀) = 0 e mantenuta identica in ogni calcolo e confronto. t₁ e t₂ sono i tempi di transizione tra le fasi. Si definiscono inoltre s = ln(t/1 Gyr), s₁ = ln(t₁/1 Gyr), s₂ = ln(t₂/1 Gyr), u = (s - s₁)/(s₂ - s₁) (con u in [0,1] nella fase 2, cioè per t₁ <= t <= t₂), e y(s) = ln(1 + z), usata per costruire il raccordo in modo regolare. exp(x) indica l’esponenziale naturale e ln(x) il logaritmo naturale.
Definizione completa della funzione z(t)
La funzione z(t) è definita a tre fasi con due transizioni t₁ e t₂ e raccordo centrale in variabile logaritmica.
Fase 1 (iperprimordiale), per t < t₁
z(t) = z₁(t)
z₁(t) = t^9.31/(1.515e-40) - 1
Fase 2 (raccordo log-Hermite “dolce”), per t₁ <= t <= t₂
z(t) = z₂(t)
z₂(t) = exp(y₂(s)) - 1, con s = ln(t/1 Gyr)
Si pone D = s₂ - s₁ e u = (s - s₁)/D. Allora y₂(s) è definita da:
y₂(s) = (2u^3 - 3u^2 + 1)Y₁ + (u^3 - 2u^2 + u)D M₁ + (-2u^3 + 3u^2)Y₂ + (u^3 - u^2)D M₂
Fase 3 (classica razionale), per t > t₂
z(t) = z₃(t)
z₃(t) = (t₀/t)^3.2273 - 1
Vincoli canonici del raccordo (in y(s) = ln(1 + z))
M₁ = +9.31
M₂ = -3.2273
Y₁ = ln(1 + z₁(t₁)) = 9.31 ln(t₁/1 Gyr) - ln(1.515e-40)
Y₂ = ln(1 + z₃(t₂)) = 3.2273 ln(t₀/t₂)
Nota dimensionale: t₀ e t₂ sono entrambi espressi in Gyr, quindi t₀/t₂ è adimensionale.
Parametri numerici canonici
t₁ = 1e-5 Gyr
t₂ = 1e-3 Gyr
Esponente fase 1: 9.31
Costante fase 1: 1.515e-40
Esponente fase 3: 3.2273
Pendenze canoniche in s: M₁ = +9.31, M₂ = -3.2273
Costante di riferimento: t₀ (in Gyr), da dichiarare numericamente e mantenere coerente in ogni utilizzo; si assume operativamente t₀ > t₂ così che la condizione z(t₀) = 0 ricada in fase 3 e non introduca ambiguità nella definizione a tratti.
Proprietà matematiche
La costruzione a tre fasi con raccordo in y(s) = ln(1 + z) mediante Hermite cubica produce una funzione z(t) canonica, univoca e numericamente stabile su tutto il dominio t > 0. Il raccordo in variabile logaritmica garantisce coerenza ai bordi t₁ e t₂ imponendo sia il valore sia la pendenza in s della variabile y(s).
Regole operative
Questa specifica è la versione canonica “CMDE 4.1 definitiva – agosto 2025” e deve essere usata invariata in tutte le pubblicazioni, nei manoscritti e nelle suite di validazione. Ogni modifica a qualunque parametro, esponente, costante o alla forma del raccordo richiede una nuova versione numerata e la dichiarazione esplicita della revisione, con tracciamento delle differenze rispetto alla presente specifica. La costante t₀ deve essere dichiarata esplicitamente come valore numerico (in Gyr) nell’assetto di pipeline, congelata per l’intera campagna di confronto e mantenuta identica tra implementazioni; si assume operativamente t₀ > t₂ per evitare ambiguità piecewise della condizione z(t₀) = 0.
VINCOLI
Il punto centrale della CMDE 4.1 non è solo avere tre fasi, ma farle vivere come un’unica metrica. La continuità è il vincolo che impedisce una descrizione a pezzi: la funzione deve restare unica lungo tutto il dominio, senza strappi, senza salti e senza cambi di interpretazione quando attraversa le transizioni.
Per questo il raccordo è costruito in y(s) = ln(1 + z) e non direttamente in z. Lavorare in variabile logaritmica rende il passaggio più regolare e controllabile, perché si impongono in modo esplicito sia il valore sia la pendenza ai bordi t₁ e t₂. In pratica, il cambio di regime non viene corretto dopo: è parte della definizione della metrica.
Il risultato operativo è chiaro: ai tempi di transizione non si incollano curve diverse, si ottiene una sola curva tracciabile, numericamente stabile e coerente con i vincoli scelti. È questo che permette di implementare la formula e confrontarla con i dati senza ambiguità.
IMPLEMENTAZIONE
Questa sezione traduce la specifica canonica in una procedura di calcolo stabile, adatta a pipeline e confronti riproducibili. L’obiettivo non è riscrivere la teoria, ma prevenire gli errori più comuni: unità incoerenti, t₀ non congelato, uso improprio dei logaritmi e gestione imprecisa delle transizioni.
La prima regola è semplice: usa sempre t in Gyr e interpreta ln(t) come ln(t/1 Gyr) sotto la convenzione operativa. La seconda è altrettanto decisiva: dichiara t₀ in modo esplicito come numero in Gyr e mantienilo identico in ogni calcolo e confronto, perché se t₀ cambia, la normalizzazione cambia e la pipeline perde coerenza. La terza regola riguarda la struttura: implementa la funzione a tratti con t₁ e t₂ come soglie canoniche e calcola la fase 2 in y(s) = ln(1 + z) con la Hermite cubica, tornando poi a z con exp(y) - 1.
Per controlli rapidi, verifica tre aspetti: continuità numerica in t₁ e t₂, assenza di valori non finiti (NaN/Inf) nella fase 2 e comportamento coerente nei tre regimi. Un test minimo utile è valutare z(t) appena sotto e appena sopra t₁ e t₂ e controllare che la differenza sia compatibile con la precisione numerica; se compaiono salti evidenti, la causa tipica è un errore su s, u o sulla convenzione delle unità.